線分比・相似の定理

三角形と比の定理

△ABCの辺AB,AC上の点をそれぞれD, Eとするとき、
①DE//BCならAD:AB=AE:AC=DE:BCである。
②DE//BCならAD:DB=AE:ECである。
※この定理はD, Eが辺BA, CAの延長上にあっても成り立つ。
定理の証明 ①
△ABCと△ADEにおいて
DE//BCより、平行線の同位角は等しいので
∠ABC=∠ADE, ∠ACB=∠AED
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△ADE
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので
AD:AB=AE:AC=DE:BC
②
Eを通りABと平行な直線をひき、BCとの交点をFとする。
△ADEと△EFCにおいて
DE//BCより平行線の同位角は等しいので∠AED=∠ECF
AB//EFより平行線の同位角は等しいので∠EAD=∠CEF
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ADE∽△EFC
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので
AD:EF=AE:EC
四角形DBFEは平行四辺形なので
EF=DB
よってAD:DB=AE:EC 【例】それぞれBC//DEである。

BC//DEより BC:DE=AC:AE=AB:AD
8:6=x:9
6x=72
x=12
8:6=7:y
8y=42
y=214
BC//DEよりAE:AC=DE:BC
6:10=9:x
6x=90
x=15
BC//DEよりAE:EC=AD:DB
6:4=8:y
6y=32
y=163 【確認】 答表示
BC//DEのときx, yの値を求めよ。

x=9, y=83
x=154 , y=283

三角形と比の定理の逆

△ABCの辺AB, AC上の点をそれぞれD, Eとする。
① AD:AB=AE:ACなら DE//BC　となる。
② AD:DB=AE:ECなら DE//BC　となる。 定理の証明 ①
△ADEと△ABCにおいて
AD:AB=AE:AC, ∠Aは共通
よって2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADE∽△ABC
相似な図形の対応する角は等しいので
∠ADE=∠ABC
同位角が等しいのでDE//BC

中点連結定理

△ABCの2辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとすると
MN//BC, MN=12BCとなる。
定理の証明 △AMNと△ABCにおいて
∠Aは共通…(1)
MはABの中点なのでAM:AB=1:2
NはACの中点なのでAN:AC=1:2
よってAM:AB=AN:AC=1:2…(2)
(1),(2)から2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△AMN∽△ABC
相似比1:2なのでMN:BC=1:2
よって MN=12BC
相似な図形の対応する角は等しいので∠AMN=∠ABC
同位角が等しいのでMN//BC 【例】
図の四角形ABCDでE,F,GはそれぞれBC,AC,ADの中点でAB=CDのとき、
△EFGは二等辺三角形になる。
【証明】
△ABCでFがACの中点、EがBCの中点なので中点連結定理より
FE=12AB
△ACDでも同様にするとFG=12CD
仮定よりAB=CDなので、FE=FG
したがって△EFGは二等辺三角形となる。 【確認】 四角形ABCDで、P,Rはそれぞれ辺AD, BCの中点、Q,Sはそれぞれ対角線BD,ACの中点である。答表示
四角形PQRSはどのような四角形か。
平行四辺形 ①を証明せよ。
△ABCでSがACの中点、RがBCの中点なので中点連結定理より
SR//AB…(1), SR=1/2AB…(2)
△ABDでも同様にすると
PQ//AB…(3), PQ=1/2AB…(4)
(1), (3)よりSR//PQ, (2),(4)よりSR=PQ
よって1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形PQRSは平行四辺形になる。

平行線と比の定理

平行な3つの直線p, q, rが
直線lとそれぞれA, B, Cで交わり、
直線mとそれぞれD, E, Fで交わるとき
AB:BC = DE:EF、AB:DE = BC:EF
定理の証明 点Aを通り、直線mに平行な直線を引き、
q, rとの交点をそれぞれG, Hとする。
△ACHでBG//CHなので
AB:BC=AG:GH
四角形AGED、四角形GHFEはともに平行四辺形なので
AG=DE, GH=EF
よってAB:BC=DE:EF
比の値ではABBC = DEEF なので
両辺にBCDE をかけると
ABDE = BCEF
よってAB:DE=BC:EF 【例】
　 l//m//nのとき
9:6=x:8
6x=72
x=12 【確認】 l//m//nのとき、それぞれx, yの値を求めよ。答表示


x=245
x=323 , y=272

角の二等分線と線分の比

△ABCで、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、
AB:AC=BD:DCとなる。
証明 点Cを通り、ADに平行な直線を引き、BAの延長との交点をEとする。
AD//ECより平行線の同位角は等しいので∠BAD=∠AEC…(1)
平行線の錯角は等しいので∠DAC=∠ACE…(2)
角の二等分線なので∠BAD=∠DAC…(3)
(1),(2),(3)より∠AEC=∠ACE
2角が等しいので△ACEは二等辺三角形となる。よってAE=AC…(4)
AD//ECよりBA:AE=BD:DC…(5)
(4),(5)よりAB:AC=BD:DC 【例】ADが∠BACの二等分線とする。
AB:AC=BD:DCより
15:12=10:x
5:4=10:x
5x=40
x=8 【確認】 それぞれADが∠BACの二等分線のとき、xの値を求めよ。答表示


x=12
x=24