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線分比・相似の定理

三角形と比の定理

ABCDE △ABCの辺AB,AC上の点をそれぞれD, Eとするとき、
①DE//BCならAD:AB=AE:AC=DE:BCである。
②DE//BCならAD:DB=AE:ECである。

※この定理はD, Eが辺BA, CAの延長上にあっても成り立つ。

定理の証明
△ABCと△ADEにおいて
DE//BCより、平行線の同位角は等しいので
∠ABC=∠ADE, ∠ACB=∠AED
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△ADE
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので
AD:AB=AE:AC=DE:BC

F Eを通りABと平行な直線をひき、BCとの交点をFとする。
△ADEと△EFCにおいて
DE//BCより平行線の同位角は等しいので∠AED=∠ECF
AB//EFより平行線の同位角は等しいので∠EAD=∠CEF
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ADE∽△EFC
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので
AD:EF=AE:EC
四角形DBFEは平行四辺形なので
EF=DB
よってAD:DB=AE:EC
【例】それぞれBC//DEである。
8cm6cm9cm7cmxyABCDE
BC//DEより BC:DE=AC:AE=AB:AD
8:6=x:9
6x=72
x=12
8:6=7:y
8y=42
y=214
ABCDE6cm4cm9cm8cmxy
BC//DEよりAE:AC=DE:BC
6:10=9:x
6x=90
x=15
BC//DEよりAE:EC=AD:DB
6:4=8:y
6y=32
y=163
【確認】
BC//DEのときx, yの値を求めよ。
8cm6cm3cm2cmxyABCDE
x=9, y=83
3cm4cm4cm5cmxyABCDE
x=154 , y=283

三角形と比の定理の逆

ABCDE △ABCの辺B, AC上の点をそれぞれD, Eとする。
① AD:AB=AE:ACなら DE//BC となる。
② AD:DB=AE:ECなら DE//BC となる。
定理の証明
△ADEと△ABCにおいて
AD:AB=AE:AC, ∠Aは共通
よって2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADE∽△ABC
相似な図形の対応する角は等しいので
∠ADE=∠ABC
同位角が等しいのでDE//BC

F Eを通りABと平行な直線をひき、BCとの交点をFとする。
△ADEと△EFCにおいて
AB//EFで平行線の同位角は等しいから∠DAE=∠FEC…(1)
四角形DBFEは平行四辺形なので
DB=EF
よってAD:DB=AE:ECから
AD:EF=AE:EC…(2)
(1),(2)から2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADE∽△EFC 相似な図形の対応する角は等しいので
∠AED=∠ECF
同位角が等しいのでDE//BC

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中点連結定理

ABCMN △ABCの2辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとすると
MN//BC, MN=12BCとなる。

定理の証明 △AMNと△ABCにおいて
∠Aは共通…(1)
MはABの中点なのでAM:AB=1:2
NはACの中点なのでAN:AC=1:2
よってAM:AB=AN:AC=1:2…(2)
(1),(2)から2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△AMN∽△ABC
相似比1:2なのでMN:BC=1:2
よって MN=12BC
相似な図形の対応する角は等しいので∠AMN=∠ABC
同位角が等しいのでMN//BC
【例】
ABCDEFG 図の四角形ABCDでE,F,GはそれぞれBC,AC,ADの中点でAB=CDのとき、
△EFGは二等辺三角形になる。
【証明】
△ABCでFがACの中点、EがBCの中点なので中点連結定理より
FE=12AB
△ACDでも同様にするとFG=12CD
仮定よりAB=CDなので、FE=FG
したがって△EFGは二等辺三角形となる。
【確認】 四角形ABCDで、P,Rはそれぞれ辺AD, BCの中点、Q,Sはそれぞれ対角線BD,ACの中点である。
ABCDPQRS 四角形PQRSはどのような四角形か。
平行四辺形
①を証明せよ。
△ABCでSがACの中点、RがBCの中点なので中点連結定理より
SR//AB…(1), SR=1/2AB…(2)
△ABDでも同様にすると
PQ//AB…(3), PQ=1/2AB…(4)
(1), (3)よりSR//PQ, (2),(4)よりSR=PQ
よって1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形PQRSは平行四辺形になる。

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平行線と比の定理

ABCDEpqrlmF 平行な3つの直線p, q, rが
直線lとそれぞれA, B, Cで交わり、
直線mとそれぞれD, E, Fで交わるとき
AB:BC = DE:EF、AB:DE = BC:EF

定理の証明 GH 点Aを通り、直線mに平行な直線を引き、
p, qとの交点をそれぞれG, Hとする。
△ACHでBG//CHなので
AB:BC=AG:GH
四角形AGED、四角形GHFEはともに平行四辺形なので
AG=DE, GH=EF
よってAB:BC=DE:EF
比の値ではABBC = DEEF なので
両辺にBCDE をかけると
ABDE = BCEF
よってAB:DE=BC:EF
【例】
  l//m//nのとき
9:6=x:8
6x=72
x=12
lmn698x
【確認】 l//m//nのとき、それぞれx, yの値を求めよ。

lmn358x
x=245
891212xylmn
x=323 , y=272

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角の二等分線と線分の比

ABCD △ABCで、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、
AB:AC=BD:DCとなる。

証明 点Cを通り、ADに平行な直線を引き、BAの延長との交点をEとする。
AD//ECより平行線の同位角は等しいので∠BAD=∠AEC…(1)
平行線の錯角は等しいので∠DAC=∠ACE…(2)
角の二等分線なので∠BAD=∠DAC…(3)
(1),(2),(3)より∠AEC=∠ACE
2角が等しいので△ACEは二等辺三角形となる。よってAE=AC…(4)
AD//ECよりBA:AE=BD:DC…(5)
(4),(5)よりAB:AC=BD:DC
【例】ADが∠BACの二等分線とする。
ABCDx101512 AB:AC=BD:DCより
15:12=10:x
5:4=10:x
5x=40
x=8
【確認】 それぞれADが∠BACの二等分線のとき、xの値を求めよ。

ABCD182126x
x=12
ABCDx211614
x=24

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