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相似の面積比、体積比

平面図形

相似な平面図形では
長さの比は相似比と同じ。
面積比は相似比の2乗になる。

相似比がa:bの相似な図形の場合
辺、高さ、周など 長さの比は a : b
面積比は a2 : b2

【例】
△ABC∽△PQRで相似比3:5である。 3h 3k 5k 5h A B C P Q R
△ABCの高さを3hとすると△PQRの高さは5hとなる。
△ABCの底辺を3kとすると△PQRの底辺は5kとなる。
△ABCの面積は3h×3k÷2=92kh
△PQRの面積は5h×5k÷2=252kh
よって面積比は 92kh:252kh=9:25

【確認】 △ABC∽△DEFで相似比は2:3である。
△ABCと△DEFの周の長さの比を求めよ。
 2:3
△ABCと△DEFの面積比を求めよ。
4:9
△PQR∽△STUで相似比が2:5である。
△PQRの面積が20cm2のとき△STUの面積を求めよ。
125cm2

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空間図形

相似な立体では
長さの比は相似比と同じ。
面積比は相似比の2乗。
体積比は相似比の3乗。

相似比がa:bの相似な図形の場合
辺、高さなど 長さの比は a : b
表面積など 面積比は a2 : b2
体積比は a3 : b3

【例】
相似比2:3の相似な円柱PとQがある。 2h 2r 3r 3h
Pの底面の半径を2rとするとQの底面の半径は3r
Pの高さを2hとするとQの高さは3h
①表面積の比 Pの表面積 側面 2h×4πr=8πrh
底面 2r×2r×π×2=8πr2
 よって 表面積
 8πrh+8πr2
 =8πr(h+r)

Qの表面積 側面 3h×6πr=18πrh
底面 3r×3r×π×2=18πr2
 よって 表面積
 18πrh+18πr2
 =18πr(h+r)

表面積の比  8πr(h+r):18πr(h+r)=4:9
②体積の比 Pの体積 2r×2r×π×2h=8πr2h
Qの体積 3r×3r×π×3h=27πr2h
体積の比 8πr2h:27πr2h=8:27

【確認】 円錐Aと円錐Bは相似で、相似比は3:4である。
AとBの表面積の比を求めよ。
 9:16

AとBの体積の比を求めよ。
27:64
円柱Cと円柱Dは相似で、表面積の比が9:25である。
円柱Cの体積が270πcm3のときの円柱Dの体積を求めよ。
 1250πcm3

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