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角の二等分線と辺の比

∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。次の問いに答えよ。


AB=4,AC=10,BC=7のとき
BDを求めよ。
ABCD

AC=9,BD=3,DC=4
のときABを求めよ。
ABCD

AB=12,AC=8,DC=5の
ときBCを求めよ。
ABCD

∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をD、 ∠BACの二等分線と辺BCとの交点をE、 BDとAEの交点をFとする。 次の線分比を求めよ。

ABCDEF91615

AF:FE BF:FD

∠BACの二等分線と辺BCとの交点をD、 ∠ACBの二等分線と辺ABとの交点をE、 ADとCEの交点をFとする。AC=12, AF:FD=2:1, CF:FE=3:2のとき次の線分の長さを求めよ。

ABCDEF

AB BC

∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。ADの長さを求めよ。

ABCD151812
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2 274 252


(1)3:2(2)5:3


(1)18(2)15


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ABCD △ABCで、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、
AB:AC=BD:DCとなる。

ABCDv4107x7-x BC=7なのでBD=xとするとDC=7-x
AB:AC=BD:DCなので
4:10 = x:(7-x)
10x =4(7-x)
10x = 28-4x
14x =28
x=2
ABCDx934 AB:AC=BD:DCなので
AB=xとすると
x:9 = 3:4
4x = 27
x=274
ABCDx5812x-5 BC=xとすると DC=5なので BD=x-5
AB:AC=BD:DCなので
12:8=(x-5):5
8(x-5)=60
8x-40 =60
8x=100
x=252

(1) ABCDEF91615 △ABCでAEが∠BACの二等分線なので
AB:AC=BE:ECとなる。
つまりBE:EC=9:15=3:5
BE:BC=3:8で、BC=16より
BE:16=3:8
BE=16×38
BE=6

ABCDEF96 6 △ABEでBFが∠ABEの二等分線なので
AB:BE=AF:FEになる。
よってAF:FE =9:6
=3:2



(2)  ABCDEF91615 △ABCでBDが∠ABCの二等分線なので
BA:BC=AD:DCとなる。
つまりAD:DC=9:16
AD:AC=9:25で、AC=15より
AD:15 = 9:25
AD=15×925
AD =275


ABCDEF9527 △ABDでAFが∠BADの二等分線なので
AB:AD=BF:FDになる。
よってBF:FD =9:275
= 5:3

△AECでAFは∠EACの二等分線なので
 AE:AC=EF:FC
 AE:12=2:3
 AE=8
△ACDでCFが∠ACDの二等分線なので
 CA:CD=AF:FD
 12:CD=2:1
 CD=6

EB=x, DB=yとする。
ABCDEFxy1268xy6812
△ABCでADが∠BACの二等分線なので
AB:AC=BD:DC
(x+8):12=y:6
12y=6x+48
-6x+12y=48
-x+2y=8・・・①
△ABCでCEが∠ACBの二等分線なので
CA:CB=AE:EB
12:(y+6)=8:x
12x=8y+48
12x-8y=48
3x-2y=12・・・②
①と②を連立方程式として解くと
x=10, y=9
よってAB=18, BC=15

ADが∠BACの二等分線なので AB:AC = BD:DC
BD=yとすると 15:12=y:(18-y)
5:4 = y:(18-y) 4y = 5(18-y)
4y+5y=90
y =10
ABCD151812108
△ABCと△DACに着目してみると
∠Cは共通
BC:AC=18:12=3:2
AC:DC=12:8=3:2
2組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△DAC
よって AB:DA = 3:2 = 15:x
x = 10
ABC151812ACD128

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