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関数と図形 三角形の面積

三角形の面積を出すには、底辺の長さと高さが必要である。 x軸、y軸のどちらかに平行な辺を底辺にすれば底辺の長さと高さが得られる。 もし軸に平行な辺がない場合は。「三角形を切断して2つに分ける。」または「大きな図形から引く。」などの工夫が必要になる。
A(3, 6), B(-1, -2), C(4, -2) のとき△ABCの面積を求めよ。ABCOxy A(7,5), B(1, 2), C(5, 1) のとき△ABCの面積を求めよ。xyOABC l:y=x,m:y=-2x+24,n:y=-x+12のとき、これら3つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ。lmnOxy 辺BCがx軸に平行なので、BCを底辺とする。
BCの長さは 4-(-1) =5、
BとCのy座標が-2で、Aのy座標が6なので高さは
6-(-2)=8
よって面積は 5×8÷2=20
ABCOxy58
軸に平行な辺が無いので、頂点Cを通りy軸に平行な直線lで△ABCを2つに分ける。
直線lと辺ABの交点をPとして、△APCと△BPC、それぞれCPを底辺として面積を求める。
直線ABの式を求めるとA(7,5),B(1,2)より y=1/2x+3/2
直線lはx=5なので y=1/2×5+3/2 = 4
P(5,4)
するとCP = 4-1=3
△APCの高さは 7-5=2 よって面積 3×2÷2=3
△BPCの高さは 5-1=4 よって 面積 3×4÷2=6
よって△ABCの面積は 3+6=9
xyOABClP234(5,1)(7,5)(1,2)(5,4)
lとm, lとn, mとnの交点をそれぞれA,B,Cとして座標を求めると、A(8,8), B(6,6), C(12,0)となる。
△AOCから△BOCの面積を引いて△ABCを出す。
△AOCは底辺OC=12, Aのy座標が8, OとCのy座標が0なので高さ8,よって面積は12×8÷2=48
△BOCは底辺OC=12, Bのy座標が6なので高さ6,よって面積12×6÷2=36
よって△ABC=△AOC-△BOC=48-36=12
lmnOxyABC(8,8)(6,6)(12,0)

【練習】

A(8, 5), B(1, 1), C(11, 1) のとき△ABCの面積を求めよ。 ABCxyO
20
A(6, 11), B(1, 1), C(10, 7) のとき△ABCの面積を求めよ。 OABCxy
30
l:y=3x, m:y=12x, n:y=-x+12によって囲まれた三角形の面積を求めよ。 xyOlmn
30

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