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1次関数の利用(動点)

1次関数の応用では
変数x,yがそれぞれ「何を表しているのか」しっかり把握することが大切である。
さらに、動点の問題では点が動いた道のりをxで表す必要がある。
また、点の位置によって「場合分け」して考えなければならない。

例 AB=4cm, BC=6cmの長方形ABCDがあり、点PはAを出発して毎秒2cmでA→B→C→Dと進む。 出発からx秒後の△APDの面積をycm2とする。動かす A B C D 6cm 4cm P
点Pは毎秒2cmで進むのでx秒間で動く道のりは2xcmである。 そして、点Pは辺ABからBC、そしてCDへ移動していく。 三角形の面積は底辺と高さから求めるが、点Pが辺を移ると高さの表し方が異なるので各辺ごとで場合分けする。
(1)Pが辺AB上にあるとき
P 毎秒2cmで動くと点Pが辺AB上にいるのはスタートから2秒間なのでxの変域は0≦x≦2である。 また、赤で示したところがPの移動した道のりなので、長さは2xcmとなる。
底辺をADとすると△APD高さはAPで、これは赤い部分と一致するので2xcmが高さとなる。
底辺6cm、高さ2xcmから面積を求めるとy=6xとなる。
(2)Pが辺BC上にあるとき
P 高さ 赤で示したところがPの移動した道のり(2xcm)だが、底辺をADとしたときの△APDの高さは Pが辺BC上を移動する間変化せず、ずっと4cmのままなのでxは関係ない。底辺6cm,高さ4cmから面積を求めると y=12 となる。(xはない)
Pはスタートから2秒でBに到達し、Cに到達するのはスタートから5秒後なので変域は2≦x≦5である。
(3)Pが辺CD上にあるとき
P Pの移動した道のり2xcmは赤い部分。△APDの高さはPD(青い部分)。AB+BC+CDから赤を引くと青がでる。
よって高さは(14-2x)cm、底辺6cm、面積はy=(14-2x)×6÷2=42-6x
スタートから5秒後にC,7秒後にDに到達するので、変域は5≦x≦7
グラフを描く (1)y=6x(0≦x≦2)、(2)y=12(2≦x≦5)、(3)y=42-6x(5≦x≦7)をグラフにする。 式の形からすべて直線とわかるので、変域の端の点の座標をとり、直線で結ぶ。
x=0のときy=0, x=2のときy=12, x=5のときy=12, x=7のときy=0    
O 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 (秒) (cm) 2

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