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1次関数の変化の割合

変化の割合とは

xの増加量に対してyがどれだけ増加するかを表したもの(xが1増えるときのyの増加量)を変化の割合という。
どの関数でも次の式で変化の割合を出すことができる。
変化の割合 = yの増加量 xの増加量 【例】
xの増加量が5で、yの増加量が10のとき
変化の割合は、 10 5 = 2 となる。
変化の割合が3で、xの増加量が4のとき
 3 = yの増加量 4  から
yの増加量 = 3×4 = 12 となる。

【確認】 xの増加量が3で、yの増加量が-12のときの変化の割合を求めよ。 
-123 = -4
答 -4
変化の割合が3で、xの増加量が5のときのyの増加量を求めよ。
3 = yの増加量5 より
答 15

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1次関数の変化の割合

1次関数ではxに対してyが一定の割合で変化する。
つまり、変化の割合が常に一定である。
1次関数 y=ax+b では
変化の割合は一定で、aと等しい
【例】 y=2x+10 について
 xの増加量が3のときのyの増加量を求める。

1次関数の変化の割合は一定で、 y = ax+b の形のときのxの係数aが変化の割合である。
よってy = 2x+10では 変化の割合は 2となる。
変化の割合 = yの増加量 xの増加量 なので、変化の割合に2, xの増加量に3を代入すると
2 = yの増加量 3
yの増加量 = 2×3 = 6
「xの増加量」と「xの値」は違うものなので y=2x+10のxに3を代入するのは間違いである

【確認】 
y=5x+2の変化の割合はいくつか。
5
6x+3y+12=0の変化の割合はいくつか。
式を変形するとy=-2x-4
よって 答 -2
y = 3x -11で xの増加量が6のときのyの増加量を求めよ。
変化の割合が3なので
3 = yの増加量 6
3×6 = 18
答 18
y = -5x+8でxの増加量が2のときのyの増加量を求めよ。
変化の割合が-5なので
-5 = yの増加量 2
-5×2 = -10
答 -10
8x+2y=4でxの増加量が7のときのyの増加量を求めよ。
式を変形すると y=-4x+2
変化の割合が-4なので
-4 = yの増加量 7
-4×7=-28
答 -28

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2点から変化の割合を出す

【例題】
点(2,3)から点(6,15)に変化したときの変化の割合を求めよ。
点(2,-3)から点(6,-11)に変化したときの変化の割合を求めよ。

(2, 3)(6, 15)
yは3から15まで変化しているので、yの増加量は 15-3=12
xは2から6まで変化しているので、xの増加量は 6-2=4
変化の割合は 12÷4 = 3 となる。
これを式で表すと
変化の割合= 15-3 6-2 = 3


(2, -3)(6, -11)
yは−3から−11まで変化しているので、yの増加量は −11−(−3)=−8
xは2から6まで変化しているので、xの増加量は 6−2=4
変化の割合は -8÷4=-2
 式では
変化の割合= -11-(-3) 6-2 =−2

【練習】それぞれ2点から変化の割合を求めよ。
( 4, 5) (6, 11)
11-56-4 = 62 = 3
答 3
(3, 9)  (5, -1)
-1-95-3 = -102 = -5
答 -5
(-2, -7)  (1, 5)
5-(-7)1-(-2) = 123 = 4
 答 4
(-3, -1)  (1, -9)
-9-(-1)1-(-3) = -84 = -2
答 -2

チェックテスト

xの増加量が4で、yの増加量が20のときの変化の割合を求めよ。
5
xの増加量が9で、yの増加量が-27のときの変化の割合を求めよ。
-3
変化の割合が-6で、xの増加量が5のときのyの増加量を求めよ。
-30
変化の割合が23 で、xの増加量が12のときのyの増加量を求めよ。
8
24x+6y+1=0の変化の割合はいくつか。
-4
y=-x+14でxの増加量が5のときのyの増加量を求めよ。
-5
y=4x+5でxの増加量が8のときのyの増加量を求めよ。
32
9x+36y=18=0で、xの増加量が8のときのyの増加量を求めよ。
-2
8x-4y+3=0で、xの増加量が4のときのyの増加量を求めよ。
8
点(1, 2)から点(5, 14)に変化したときの変化の割合を求めよ。
3
点(3, 8)から点(5, 2)に変化したときの変化の割合を求めよ。
-3
点(-1, -3)から点(5, 9)に変化したときの変化の割合を求めよ。
2
点(-5,-2)から点(-3, -10)に変化したときの変化の割合を求めよ。
-4

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