式の計算の利用_基本問題3

計算せよ。
1001² 77×83 133²-123² 次の問いに答えよ。
x=-5,y=4のとき、4x²+20xy+25y² の値を求めよ。
x=7,y=3のとき、4x²-4xy-15y² の値を求めよ。
x=25,y=3のとき、(3x+2y)(4x-3y)-(2x-y)(6x+5y) の値を求めよ。
x=12,y=11のとき、9x²-16y² の値を求めよ。 連続する3つの偶数では真ん中の数の平方から残りの2数の積を引くと4になる。 線分ABの中点をMとし, 線分MB上に点Pをとる。 APを1辺とする正方形の面積をSa, PBを1辺とする正方形の面積をSb ,AMを1辺とする正方形の面積をSc, MPを1辺とする正方形の面積をSdとする。 Sa+Sb=2(Sc+Sd)　を証明せよ。

1002001 6391 2560 100 -23 -15 -640
nを整数とすると, 連続する3つの偶数は2n, 2n+2, 2n+4と表せる。
真ん中の数の平方から残りの2数の積を引くと
(2n+2)² - 2n(2n+4) = 4n²+8n+4 - 4n²-8n
= 4
よって, 連続する3つの偶数で真ん中の数の平方から残りの2数の積を引くと4になる
AB=x, AP=yとすると
Sa = y²
PB=x-yなので
Sb= (x-y)²

AM=12xなので
Sc = (12x)²
MP = AP-AM = y-12x なので
Sd = (y-12x)²

Sa＋Sb = y² + (x-y)²
= y² + x² -2xy+y²
= x² -2xy + 2y²…①
Sc+Sd = (12x)²+(y-12x)²
= 14x²+y²-xy+14x²
= 12x²-xy+y²
2(Sc+Sd) = x²-2xy+2y² …②
①②よりSa+Sb=2(Sc+Sd)