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数の性質の証明(9で割ると2あまる数・・・など)

自然数nを7で割ると商がaであまりが4である。自然数mを7で割ると商がbであまりが3である。
nをaの式で表わせ。 mとnの積, mnをaとbを使って表わせ。 mとnの積を7で割るとあまりはいくつか。
9で割ると2あまる数と、9で割ると3あまる数との積を9で割ったときのあまりを求めよ。 5で割ると3あまる数と、5で割ると2あまる数の積を5で割る場合について あまりはいくつになるか。 (1)を証明せよ。 11で割ると6あまる数と11で割ると4あまる数の積は、11で割ると2あまる数になる。これを証明せよ。

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n = 7a+4 mn = (7a+4)(7b+3)
= 49ab+21a+28b+12
5
6
1 n,mを整数とする。
5で割ると3あまる数は5n+3, 5で割ると2あまる数は5m+2となる。
これらの積は
(5n+3)(5m+2) = 25mn+10n+15m+6
= 5(5mn+2n+3m+1) +1
m,nが整数なので 5mn+2n+3m+1 は整数である。
5×整数 + 1 となっているので,これは5で割ると1あまる数である。
よって5で割ると3あまる数と、5で割ると2あまる数の積を5で割るとあまりは1になる。

n,mを整数とする。
11で割ると6あまる数は11n+6, 11で割ると4あまる数は11m+4となる。
これらの積は
(11n+6)(11m+4) = 121mn+44n+66m+24
= 11(11mn+4n+6m+2) +2
m,nが整数なので 11mn+4n+6m+2 は整数である。
11×整数 + 2 となっているので, これは11で割ると2あまる数である。
よって11で割ると6あまる数と11で割ると4あまる数の積は、11で割ると2あまる数になる

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