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多項式総合問題Lv3-1

次の計算をせよ。
(a+b)(a+b+2)(m+n+3)(m+n-3)(5a-2b+3c)(5a+2b-3c)(x-y+4)(x-y-3)(2x-7y+4)(2x-7y-4)(x+3y+1)2(2a-b-5)2(-2a+5b+1)(2a+5b+1)
次の式を因数分解せよ。
x(x+2)+3(x+2)(a+3b)2+2c(a+3b)(x-1)2+10(x-1)+25(3x+4y)2-(3x+4y)-4281x2-(a-2b)2(3x+y)2-(a+2b)29(x+2y)2+24(x+2y)+164(x-y)2+16(x-y)+15
次の式を因数分解せよ。
a(x-y)+b(y-x)(a+b)2-2a-2b(2x-y)2+3(y-2x)-10(x-5y)2+2x-10y-35
次の計算をせよ。
2972+6×297+9 672+267×133 617×583-217×183 2872+2×287×13+132

4つの連続する自然数で最も大きい数と二番目に大きい数の積から最も小さい数と二番目に小さい数を引くと、 もとの4つの自然数の和に等しくなることを証明せよ。


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a2+b2+2ab+2a+2bm2+n2+2mn-925a2-4b2-9c2+12bcx2+y2-2xy+x-y-124x2+49y2-28xy-16x2+9y2+6xy+2x+6y+14a2+b2-4ab-20a+10b+25-4a2+25b2+10b+1

(x+2)(x+3)(a+3b)(a+3b+2c)(x+4)2(3x+4y+6)(3x+4y-7)(9x+a-2b)(9x-a+2b)(3x+y+a+2b)(3x+y-a-2b)(3x+6y+4)2(2x-2y+3)(2x-2y+5)

(x-y)(a-b)(a+b)(a+b-2)(2x-y+2)(2x-y-5)(x-5y-5)(x-5y+7)

90000 40000 320000 90000

最も小さい数をnとすると、4つの連続する自然数はn, n+1, n+2, n+3となる。
最も大きい数と二番目に大きい数の積から最も小さい数と二番目に小さい数を引くと
(n+2)(n+3)-n(n+1) = n2+5n+6 -n2-n
= 4n+6 …①

また、もとの4つの自然数の和は
n+(n+1)+(n+2)+(n+3) = 4n+6 …②
①, ②より
4つの連続する自然数で最も大きい数と二番目に大きい数の積から最も小さい数と二番目に小さい数を引くと、 もとの4つの自然数の和に等しくなる

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次の計算をせよ。
(3x+y-4)(3x-y+4)(5x+y+2)(5x-y-2)(4x+7y-2)(4x+7y+5)(3a-2b+6)2(5x-y+8)2(-7x+3y+4)(7x+3y+4)(3x-2y+9)(3x+2y-9)(a+2b-5)(a-2b-5)
次の式を因数分解せよ。
(2x-y)2+(2x-y)(x-y+1)(2a-3)+(x-y+1)(2a+1)(3x+5)2-14(3x+5)+49(5x-9)2+2(5x-9)-6364(x-2)2-y249(x+6)2-9(y-4)236(2a-3b)2-60(2a-3b)+259(a+2b)2+3(a+2b)-56
次の式を因数分解せよ。
2x(3a-b)+5y(b-3a)(x-y)2-7x+7y(2a-5b)2-2a+5b-12(3a-2b)2+12a-8b+4
次の計算をせよ。
1122+16×112+64 372+137×63 329×271-129×71 742-2×74×76+762

連続する3つの偶数で、最も大きい数の平方から最も小さい数の平方を引くと16の倍数になることを証明せよ。



9x2-y2+8y-1625x2-y2-4y-416x2+49y2+56xy+12x+21y-109a2+4b2-12ab+36a-24b+3625x2+y2-10xy+80x-16y+64-49x2+9y2+24y+169x2-4y2+36y-81a2-4b2-10a+25

(2x-y)(2x-y+1)2(x-y+1)(2a-1)(3x-2)25x(5x-16)(8x-16+y)(8x-16-y)(7x+3y+30)(7x-3y+54)(12a-18b-5)2(3a+6b-7)(3a+6b+8)

(3a-b)(2x-5y)(x-y)(x-y-7)(2a-5b+3)(2a-5b-4)(3a-2b+2)2

14400 10000 80000 4

nを整数とすると、連続する3つの偶数は 2n, 2n+2, 2n+4 と表せる。
最も大きい数の平方から最も小さい数の平方を引くと
(2n+4)2-(2n)2 =4n2+16n+16 - 4n2
=16n+16
=16(n+1)

n+1は整数なので16(n+1)は16の倍数である。
よって
連続する3つの偶数で、最も大きい数の平方から最も小さい数の平方を引くと16の倍数になる

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