共通因数をくくり出した後、さらに因数分解する
【例1】2ax2-18a の因数分解
2ax2-18a=2a(x2-9) ←2aをくくりだす =2a(x+3)(x-3) ←かっこの中を因数分解
【例2】 -6x2y+6xy+36y の因数分解
-6x2y+6xy+36y=-6y(x2-x-6) ←-6yをくくりだす =-6y(x-3)(x+2) ←カッコの中を因数分解
必ず先に共通因数をくくりだす。
さらに、共通のものすべてくくりだすこと。例1では2aをくくりだしているが、aだけや2だけくくりだしたのではうまくいかない。
また例2のようにx2の係数にマイナスがある場合、マイナスもくくりだしたほうがよい。
【確認】因数分解せよ。
kx2-ky2
3cx2+3cx-36c
-2x3+8x2-8x
①k(x+y)(x-y)
②3c(x+4)(x-3)
③-2x(x-2)2
動画 例題解説 「共通因数をくくりだしてさらに因数分解」
項を分けて因数分解する(発展)
4項を2項と2項に分ける
【例題】
因数分解せよ。
ax−ay−2x+2y
ax−ay−2x+2y
ここで分けて考える。
ax−ay = a(x−y) ・・・aをくくりだす。
−2x+2y = −2(x−y) ・・・−2をくくりだす。
すると(x−y)が共通因数になるのでx−y=Aとおく。
ax−ay−2x+2y=a(x−y)−2(x−y) =aA−2A =A(a−2) =(x−y)(a−2)
【練習】因数分解せよ。
ax+ay−5x−5y
=a(x+y)-5(x+y)
=aA-5A
=A(a-5)
=
(x+y)(a−5)
ax+2a−x−2
=a(x+2)-(x+2)
=aA-A
=A(a-1)
=
(x+2)(a−1)
ax−2ay+3bx−6by
=a(x-2y)+3b(x-2y)
=aA+3bA
=A(a+3b)
=
(x−2y)(a+3b)
xy−3y−4x+12
=y(x-3)-4(x-3)
=yA-4A
=A(y-4)
=
(x−3)(y−4)
2xy−y−4x+2
=y(2x-1)-2(2x-1)
=yA-2A
=A(y-2)
=
(2x−1)(y−2)
3項と1項に分ける
【例題】
因数分解せよ。
x2+2xy+y2−z2
x2+2xy+y2−z2
この位置で分けて考える。
x2+2xy+y2 =(x+y)2
と因数分解できる。
x+y=Aとおいて和と差の積を使う。
x2+2xy+y2−z2=(x+y)2−z2 =A2−z2 =(A+z)(A−z) =(x+y+z)(x+y−z)
【練習】 因数分解せよ。
x2+6xy+9y2−4a2
=(x+3y)2-4a2
=A2-(2a)2
=(A+2a)(A-2a)
=(x+3y+2a)(x+3y−2a)
x2−4x+4−y2
=(x-2)2-y2
=A2-y2
=(A+y)(A-y)
=(x−2+y)(x−2−y)
x2−10xy+25y2−121
=(x-5y)2-112
=A2-112
=(A+11)(A-11)
=(x−5y+11)(x−5y−11)
x2−y2−2y−1
=x2-(y2+2y+1)
=x2-(y+1)2
=x2-A2
=(x+A)(x-A)
=
(x+y+1)(x−y−1)
1−x2+8xy−16y2
=12-(x2-8xy+16y2)
=12-(x-4y)2
=12-A2
=(1+A)(1-A)
=
(1+x−4y)(1−x+4y)
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