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いろいろな因数分解

共通因数をくくり出した後、さらに因数分解する

【例1】2ax2-18a の因数分解  
2ax2-18a=2a(x2-9) ←2aをくくりだす =2a(x+3)(x-3) ←かっこの中を因数分解

【例2】 -6x2y+6xy+36y の因数分解
-6x2y+6xy+36y=-6y(x2-x-6) ←-6yをくくりだす =-6y(x-3)(x+2) ←カッコの中を因数分解

必ず先に共通因数をくくりだす。
さらに、共通のものすべてくくりだすこと。例1では2aをくくりだしているが、aだけや2だけくくりだしたのではうまくいかない。
また例2のようにx2の係数にマイナスがある場合、マイナスもくくりだしたほうがよい。

【確認】因数分解せよ。
kx2-ky2 3cx2+3cx-36c -2x3+8x2-8x

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おきかえを使った因数分解

式の中の共通な部分を他の文字におきかえて因数分解する。
【例1】 9x2-6x+1
3x =Aとおくと
9x2-6x+1
= A2 -2A+1
= (A-1)2
= (3x-1)2

【例2】 16x2-9y2
4x=A, 3y=Bとおくと
16x2-9y2
=A2-B2
=(A+B)(A-B)
=(4x+3y)(4x-3y)

【確認】因数分解せよ。
4x2+4x+1 49x2-81y2


【例3】x(a+b)-2y(a+b)
  (a+b)=Aとおく
x(a+b)-2y(a+b)=xA-2yA =A(x-2y) =(a+b)(x-2y)
【例4】 (x+y)2+3(x+y)-10
(x+y)=A とおく
(x+y)2+3(x+y)−10=A2+3A−10 =(A+5)(A−2) =(x+y+5)(x+y−2)
【確認】因数分解しなさい。
 ①  a(x+y)-5(x+y)      
 ②  (a+2)2-2(a+2)-63    
 ③ (a+b)2-(x+y)2

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項を分けて因数分解する(発展)

4項を2項と2項に分ける

【例題】
 因数分解せよ。  ax−ay−2x+2y
ax−ay−2x+2y  ここで分けて考える。
ax−ay = a(x−y) ・・・aをくくりだす。
−2x+2y = −2(x−y) ・・・−2をくくりだす。
すると(x−y)が共通因数になるのでx−y=Aとおく。


ax−ay−2x+2y=a(x−y)−2(x−y) =aA−2A =A(a−2) =(x−y)(a−2)
【練習】因数分解せよ。
ax+ay−5x−5y =a(x+y)-5(x+y)
=aA-5A
=A(a-5)
= (x+y)(a−5)
ax+2a−x−2 =a(x+2)-(x+2)
=aA-A
=A(a-1)
= (x+2)(a−1)
ax−2ay+3bx−6by =a(x-2y)+3b(x-2y)
=aA+3bA
=A(a+3b)
= (x−2y)(a+3b)
xy−3y−4x+12 =y(x-3)-4(x-3)
=yA-4A
=A(y-4)
= (x−3)(y−4)
2xy−y−4x+2 =y(2x-1)-2(2x-1)
=yA-2A
=A(y-2)
= (2x−1)(y−2)


3項と1項に分ける

【例題】
因数分解せよ。  x2+2xy+y2−z2
x2+2xy+y2−z2   この位置で分けて考える。
x2+2xy+y2 =(x+y)2
と因数分解できる。
x+y=Aとおいて和と差の積を使う。


x2+2xy+y2−z2=(x+y)2−z2 =A2−z2 =(A+z)(A−z) =(x+y+z)(x+y−z)

【練習】 因数分解せよ。
x2+6xy+9y2−4a2 =(x+3y)2-4a2
=A2-(2a)2
=(A+2a)(A-2a)
=(x+3y+2a)(x+3y−2a)
x2−4x+4−y2 =(x-2)2-y2
=A2-y2
=(A+y)(A-y)
=(x−2+y)(x−2−y)
x2−10xy+25y2−121 =(x-5y)2-112
=A2-112
=(A+11)(A-11)
=(x−5y+11)(x−5y−11)
x2−y2−2y−1 =x2-(y2+2y+1)
=x2-(y+1)2
=x2-A2
=(x+A)(x-A)
= (x+y+1)(x−y−1)
1−x2+8xy−16y2 =12-(x2-8xy+16y2)
=12-(x-4y)2
=12-A2
=(1+A)(1-A)
= (1+x−4y)(1−x+4y)

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