因数分解の利用

x²+2xy-3y²=12を満たす自然数xとyの値を求めよ。 x²+2x+14=y²を満たす自然数xとyの値を求めよ。 解説動画 ≫ x=3,y=1 x=5,y=7 x²+2xy-3y²=12 　左辺を因数分解する
(x-y)(x+3y)=12 　x,yが自然数なので x+3y は4以上の自然数, x-yも自然数となる。
積が12になるような(x-y)×(x+3y)の組み合わせは ,1×12, 2×6, 3×4
x-y=1, x+3y=12 を連立方程式で解くと 解が分数になるので適さない。
x-y=2, x+3y=6を連立方程式で解くと x=3, y=1
x-y =3, x+3y=4を連立方程式で解くと 解が分数になるので適さない。
よって
答 x=3, y=1 x²+2x+14=y² を変形すると
x^2+2x+1 +13 = y^2
(x+1)^2 +13 = y^2
y^2-(x+1)^2 =13
(y+x+1)(y-x-1) = 13　x,yが自然数なので y+x+1は3以上の自然数, y-x-1も自然数となる。
積が13となるような (y+x+1)×(y-x-1)の組み合わせは 13×1 だけなので
y+x+1=13, y-x-1=1を連立方程式で解くと
x+y=12+)-x+y=2 2y=14 y=7
x+y=12
x=5
答 x=5, y=7

【練習】
答表示
(3a-b)(2a+3b)=7を満たす整数a,bの組(a,b)をすべて求めよ。
(-2, 1),(2,-1) x²+2xy-8y²=19を満たす自然数xとyの値を求めよ。
x=7, y=3 x²+4x+15=y²を満たす自然数xとyの値を求めよ。
x=3,y=6

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