式の計算の利用_標準問題1

計算せよ。
231²-241×221 3049²-3051² 87²-66²+34²-13² 次の問いに答えよ。
x=2,y=3のとき、x²y-3xy+2y+x²-x の値を求めよ。
x=0.2,y=0.4のとき、5(x²-2xy+2y²)-(2x-y)² の値を求めよ。
x+y=4,xy=-1のとき、(x+1)(y+1) の値を求めよ。
x+y=10,xy=4のとき、x²+y² の値を求めよ。 2つの奇数の積から1を引いた数は偶数になることを証明せよ。 4 式による証明(図形)☑ 3辺の長さがx, y, zの三角形がある。 この三角形のまわりに幅aの道をつける。 この道の面積がS, 道の中央を通る線の長さがl のとき S=alを証明せよ。

100 -12200 4200 2 1 4 92
m, nを整数とすると2つの奇数は2m+1, 2n+1とあらわされる。
これらの積から1を引くと
(2m+1)(2n+1)-1 = 4mn+2m+2n+1-1
= 2(2mn+m+n)
m, nは整数なので、(2mn+m+n)も整数となり、2(2mn+m+n)は偶数になる。
よって2つの奇数の積から1を引いた数は偶数になる。
道の面積のうち長方形の部分は
ax+ay+az となる。
また角の部分はおおぎ形で3つあわせると半径aの円となるので
面積は πa² である。
よって S=ax+ay+az+πa²　…①

また道の中央を通る線の直線部分は
x+y+z で
弧の部分を3つあわせると半径 12aの円になるので
長さが πa となる。
よって l = x+y+z + πa
al = ax+ay+az+πa² …②

①、②より S=al