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数の性質の証明

2つの連続する整数・・・n, n+1
偶数・・・2n
奇数・・・2n-1

aで割ると商がnであまりがbの数
an+b (ただし a > b)

連続する3つの偶数では, 最大の数の平方と最小の数の平方の差は中央の数の8倍になることを証明せよ。 3で割ると1あまる数の平方と3で割ると2あまる数の平方の和を3で割るとあまりが2になる。ことを証明せよ。
偶数は2の倍数なので 2×整数 である。
よってnを整数として 2n と表せる。
偶数は2ずつ大きくなるので, 2nの次の偶数は 2n+2, その次は 2n+4
つまり連続する3つの偶数は 2n, 2n+2, 2n+4 で,
最小の数は 2n, 中央の数は 2n+2, 最大の数は 2n+4である。
よって, 最大の数の平方と最小の数の平方の差は (2n+4)2-(2n)2 となる。

また, 中央の数の8倍は 8(2n+2) となる。

最大の数の平方と最小の数の平方の差が中央の数の8倍になることを証明するには,
(2n+4)2-(2n)2を計算した結果と, 8(2n+2)を計算した結果が等しくなればよい。

【証明】
nを整数とすると
3つの連続する偶数は 2n, 2n+2, 2n+4と表せる。
最大の数の平方と, 最小の数の平方の差は
(2n+4)2 - (2n)2 = (2n+4+2n)(2n+4-2n)
= (4n+4)×4
= 16n+16 ・・・①

また, 中央の数の8倍は
8×(2n+2) = 16n+16 ・・・②
①,②より, 連続する3つの偶数では, 最大の数の平方と最小の数の平方の差は中央の数の8倍になる

3で割り切れる数は, 3の倍数のことなので, 3×整数である。
3で割り切れる数に1を加えると 3で割ると1あまる数になるので 3×整数 +1である。
3で割り切れる数に2を加えると 3で割ると2あまる数になるので 3×整数 +2である。
つまり, m,nを整数として
3で割ると1あまる数は 3n+1, 3で割ると2あまる数は3m+2と表せる。
それぞれの数を平方して和を計算すると
(3n+1)2+(3m+2)2
= 9n2+6n+1 + 9m2+12m+4
= 9n2+9m2+6n+12m+5
ここで 3×整数 + あまり のかたちに変形する。ただし, あまりは3より小さくなければならない。
このとき, 各項のうち定数項5以外は係数が3の倍数である。5は3より大きいので 5=3+2として
9n2+9m2+6n+12m+3 +2 = 3(3n2+3m2+2n+4m+1)+2 と変形できる
つまり 3×整数 + 2となっているので
3で割ったときのあまりは2になるとわかる。

【証明】
m,nを整数とすると
3で割ると1あまる数は 3n+1, 3で割ると2あまる数は 3m+2
それぞれを平方して和を計算すると
(3n+1)2+(3m+2)2 = 9n2+6n+1 + 9m2+12m+4
= 9n2+9m2+6n+12m+5
= 3(3n2+3m2+2n+4m+1)+2
m,nが整数なので3n2+3m2+2n+4m+1も整数となる。
すると3(3n2+3m2+2n+4m+1)+2は3で割ると2あまる数である。
よって3で割ると1あまる数の平方と3で割ると2あまる数の平方の和を3で割るとあまりが2になる。

【練習】

連続する3つの奇数では, 最大の数の平方と最小の数の平方の差は中央の数の8倍になることを証明せよ。
nを整数とすると
連続する3つの奇数は 2n-1, 2n+1, 2n+3と表せる。
最大の数の平方と最小の数の平方の差は
(2n+3)^2-(2n-1)^2= 4n^2+12n+9 -(4n^2-4n+1)
= 4n^2+12n+9 -4n^2+4n-1
= 16n+8 ・・・①

また中央の数の8倍は
8×(2n+1) =16+8 ・・・②
①,②より 連続する3つの奇数では, 最大の数の平方と最小の数の平方の差は中央の数の8倍になる
6で割ると4あまる数と6で割ると5あまる数の積を6で割ると2あまることを証明せよ。
m,nを整数とすると
6で割ると4あまる数は 6n+4, 6で割ると5あまる数は6m+5と表せる。
これらの積を計算すると
(6n+4)(6m+5) = 36mn+30n+24m+20
= 6(6mn+5n+4m+3)+2

m,nが整数なので6mn+5n+4m+3も整数である。
すると6(6mn+5n+4m+3)+2は6で割ると2あまる数なので
6で割ると4あまる数と6で割ると5あまる数の積を6で割ると2あまる

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