整数の性質 入試レベル問題

4ab-20a+3b=0を満たす自然数aとbの値を求めよ。 4ab-20a+3b=0 を変形して 式×式 = 整数 の形を作る。
両辺に -15を加える
4ab-20a+3b-15=-15
左辺を因数分解する
4a(b-5)+3(b-5) =-15
(b-5)(4a+3) = -15
両辺に -1をかける
(-b+5)(4a+3) = 15
積が15になる自然数は 1×15,3×5, 5×3, 15×1 だが
-b+5は4以下, 4a+3は7以上なので
-b+5=1, 4a+3 = 15
よって a=3, b=4

【練習】

xy+6x-2y=0を満たす自然数xとyの値を求めよ。
x=1, y=6
-3ab-8a+9b+2=0を満たす自然数aとbの値を求めよ。
a=1, b=1
-6ab-9a+14b=0を満たす自然数aとbの値を求めよ。
a=2, b=9

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