式の計算の利用_標準問題3

計算せよ。
31²+131×69 1224×1176-224×176 255²-245²126²-124² 次の問いに答えよ。
x=7, y=5のとき、4x²-6xy-24x+36yの値を求めよ。
x=-2, y=114のとき、(3x-y)(4x+3y)-(2x-3y)(6x+y)の値を求めよ。
x-y=4, xy=1のとき、(x+y)²の値を求めよ。
x+y=14, xy=6のとき、1x²+1y²の値を求めよ。 4で割ると3あまる数どうしの積を4で割ると1あまる。このことを証明せよ。 図で線分ABの中点をMとして、線分MB上に点Pをとる。 また,AMを1辺とする正方形,MPを1辺とする正方形,PQ=PBとなるような長方形RAPQをつくる。 AMを1辺とする正方形の面積をSa, MPを1辺とする正方形の面積をSb, 長方形RAPQの面積をScとするとき Sc = Sa-Sb となることを証明せよ。

10000 1400000 10 -2 -3 20 469
m, nを整数とすると4で割ると3余る数は4m+3, 4n+3とあらわされる。
これらの積は
(4m+3)(4n+3) = 16mn+12m+12n+9
= 4(4mn+3m+3n+2)+1
m,nは整数なので4mn+3m+3n+2も整数となり、4(4mn+3m+3n+2)+1は4で割ると1余る数である。
よって4で割ると3あまる数どうしの積を4で割ると1あまる。
AB=x, AP=yとすると　AM=12x, MP=y-12x, PQ=x-y なので
Sc=y(x-y) = xy-y² …①
Sa=(12x)², Sb=(y-12x)²
より
Sa-Sb =　(12x)²-(y-12x)²
= 14x²-(y²-xy+14x²)
= 14x²-y²+xy-14x²
= xy-y² …②
①,②より Sc = Sa-Sb