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多項式総合問題Lv4-1

次の計算をせよ。
2(x+2)(x+3)(x+7)(x-8)+(x+2)2(x-7)2+(x-3)(x+5)(x-4)2+2(x-2)(x+4)(x+y+z)2-(x-y-z)2(2x+3y5)2+(3x-2y5)2
次の式を因数分解せよ。
2x3+6x2-80xx2(x+3)-4(x2+2x-3)x(y2+1)+y(x2+1)(2x+5y-3)2-2x-5y-3
次の式を因数分解せよ。
x2+2x+1-9y2x2-y2+6y-9x2-xy-x+3y-6a2x-a2y-x+yx2+2xy+y2+x+y-2(x+3)(x-3)-y(y-6)
次の問いに答えよ。
x+y=3,xy=-2のとき、x2+y2 の値を求めよ。
a-b=9,ab=-5のとき、(a+2)(b-2) の値を求めよ。
x+y=-4,xy=5のとき、x(y2+1)+y(x2+1) の値を求めよ。
x+y=-3,xy=6のとき、 1x+1yの値を求めよ。
たてx㎝、横y㎝の長方形の周囲に
図のような幅a㎝の道がある。
道の中央の太線の長さをl㎝,
道の面積をS㎝2とする。
このときS=alとなることを証明せよ。
x cmy cma cm

7で割ると4あまる数と7で割ると3余る数の積を7で割ると5余ることを証明せよ。


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2x2+10x+122x2+3x-522x2-12x+343x2-4x4xy+4xz13x225+13y225

2x(x-5)(x+8)(x+3)(x-2)2(x+y)(xy+1)(2x+5y-1)(2x+5y-6)

(x+3y+1)(x-3y+1)(x+y-3)(x-y+3)(x-3)(x-y+2)(x-y)(a+1)(a-1)(x+y-1)(x+y+2)(x+y-3)(x-y+3)

x2+y2=13(a+2)(b-2)=-27x(y2+1)+y(x2+1)=-241x+1y=-12

面積Sの部分のうち長方形の部分の和は
2ax+2ayである。
また, 4つのおうぎ形は合わせると半径aの円なので
その面積はπa2である。
よって S = 2ax+2ay+πa2 ・・・①
また, 道の中央の太線は直線部分の長さが 2x+2y
円弧の長さは半径a2の円の円周の長さに等しいので 2π×a2=πa
よって, l=2x+2y+πa
この式の両辺にaをかけて
al=2ax+2ay+πa2 ・・・②
①、②よりS=al

m,nを整数とすると
7で割ると4あまる数, 7で割ると3あまる数はそれぞれ
7m+4, 7n+3と表せる。
これらの積は (7m+4)(7n+3) = 49mn+21m+28n+12
= 49mn+21m+28n+7 +5
= 7(7mn+3m+4n+1) +5

m,nが整数なので 7mn+3m+4n+1も整数となる。
よって 7(7mn+3m+4n+1) +5 は7で割ると5余る数である。
したがって
7で割ると4あまる数と7で割ると3余る数の積を7で割ると5余る

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次の計算をせよ。
-3(x-1)(x+5)(a+4)(a-6)-(a-1)2(x+8)2-(x-9)(x-12)3(x+8)2-4(x+9)(x+3)(a-b-3)2-(a-b)(a-b+4)(4x-5y3)2-(5x+4y3)2
次の式を因数分解せよ。
3(x-2)2-48x2(x-1)+2(x2-5x+4)(x+2y-1)(x+2y-2)-12x(x+3)-y(y+3)
次の式を因数分解せよ。
x2-8x+16-16y2x2-4y2-4y-14x2-2xy+4x-y+1a2x-3a2y-4x+12yx2+4y2+4xy+x+2y-6(2x+3)(2x-3)-y(y-6)
次の問いに答えよ。
x-y=5,xy=7のとき、x2+y2 の値を求めよ。
a+b=12,ab=-3のとき、(a2-1)(b2-1) の値を求めよ。
x-y=4,xy=5のとき、x2y-xy2-2x+2y の値を求めよ。
a+1a=3のとき、a2+1a2の値を求めよ。

正方形ABCDの中に1辺a㎝の正方形と
b㎝の正方形が右の図のようにある。
図の影をつけた部分の面積をSとする。
また、縦a㎝、横b㎝の長方形EFGHの面積
をTとする。このときS=2Tになることを証明せよ。
ABCDEFGHa cma cmb cmb cm
xは3で割り切れない数である。 x2を3で割ると余りはいくつになるか。
(1)を証明せよ。



-3x2-12x+15-2537x-44-x2+84-10a+10b+9-x2+y2-80xy9 3(x+2)(x-6)(x-1)(x-2)(x+4)(x+2y+2)(x+2y-5)(x-y)(x+y+3) (x+4y-4)(x-4y-4)(x+2y+1)(x-2y-1)(2x+1)(2x-y+1)(x-3y)(a+2)(a-2)(x+2y-2)(x+2y+3)(2x+y-3)(2x-y+3) x2+y2=39(a2-1)(b2-1)=-140x2y+xy2-2x+2y=12a2+1a2=7 正方形ABCDは1辺の長さが (a+b)cmである。
そして, 影をつけた部分の面積は正方形ABCDから
1辺acmの正方形と1辺bcmの正方形を引いたものなので
S = (a+b)2 -a2-b2
=a2+2ab+b2-a2-b2
= 2ab
・・・①
長方形EFGHは縦acm, 横bcmなので
T = ab・・・②
①②より S=2T
1
xは3で割り切れないので
3で割ると1あまる数、または3で割ると2あまる数である。
つまりnを整数として xは 3n+1, または 3n+2と表せる。
x=3n+1のとき
x2 = (3n+1)2
= 9n2+6n+1
= 3(3n2+2n)+1

3n2+2nは整数なので 3(3n2+2n)+1は3で割ると1あまる数である。・・・①
x=3n+2のとき
x2 = (3n+2)2
= 9n2+12n+4
= 3(3n2+4n+1)+1

3n2+4n+1は整数なので3(3n2+4n+1)+1は3で割ると1あまる数である。・・・②
①②よりxが3n+1でも3n+2でもx2は3で割ると1余る数になる。
つまり xが3で割り切れない数なら x2を3で割るとあまりは1になる。

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