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数の性質の証明(連続する3つの整数・・・など)

連続した3つの整数のうち、最小の数の平方と最大の数の平方の和から2を引いた数は中央の数の平方の2倍に等しいことを証明せよ。 3つの連続した奇数ではそれぞれの平方の和に1を加えると12の倍数になる。これを証明せよ。 連続する2つの整数の平方の差は奇数になる。これを証明せよ。 連続する2つの偶数の積に1をたした数は2つの偶数の間にある奇数の平方になる。これを証明せよ。

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最小の数をnとすると3つの連続した整数はn, n+1, n+2となる。
最小の数の平方と最大の数の平方の和から2を引くと
n2+(n+2)2-2= n2+n2+4n+4-2
=2n2+4n+2 ・・・①

中央の数の平方の2倍は
2(n+1)2=2(n2+2n+1)
=2n2+4n+2 ・・・②

①,②から,連続した3つの整数のうち、最小の数の平方と 最大の数の平方の和から2を引いた数は中央の数の平方の2倍に等しい

nを整数とすると3つの連続した奇数は2n+1, 2n+3, 2n+5と表せる
それぞれの平方の和に1を加えると
(2n+1)2+(2n+3)2+(2n+5)2+1 =4n2+4n+1+4n2+12n+9+4n2+20n+25+1
=12n2+36n+36
=12(n2+3n+3)

nは整数なので(n2+3n+3)も整数となり、12(n2+3n+3)は12の倍数となる。
よって3つの連続した奇数ではそれぞれの平方の和に1を加えると12の倍数になる。

小さい方の整数をnとすると, 連続する2つの整数は n, n+1となる。
大きい方の数の平方から小さい方の数の平方をひくと
(n+1)2 - n2 = n2+2n+1-n2
= 2n+1
nが整数なので2n+1は奇数である。
よって、連続する2つの整数の平方の差は奇数になる

nを整数とすると2つの連続する偶数は 2n, 2n+2となる。
この積に1をたすと 2n×(2n+2)+1 = 4n2+4n+1 ・・・①

また2nと2n+2の間にある奇数は 2n+1である。
この奇数の平方は (2n+1)2 = 4n2+4n+1 ・・・②
①,②から,連続する2つの偶数の積に1をたした数は2つの偶数の間にある奇数の平方になる。

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