因数分解
因数分解とは展開の逆をすること。
展開 (ア) a( x + y) = ax + ay
因数分解 (イ) ax + ay = a(x + y)
展開 (ウ)(x+a)(x+b)= x2+ax+bx+ab
因数分解 (エ)x2+ax+bx+ab=(x+a)(x+b)
アの展開の逆をしたのがイの因数分解。ウの逆がエの因数分解。
このように因数分解は展開の逆なので、常に展開を頭に思い浮かべて考える必要がある。
共通因数をくくりだす
展開 (ア) a( x + y) = ax + ay
因数分解 (イ) ax + ay = a(x + y)
展開とは分配法則でかっこを開くこと。
そのため、常に展開を意識して因数分解をする。
a(x+y)を展開するときはaをxとyの両方にかけてax+ayとする。
ax + ay を因数分解するときにはすべての項にaがかけられていることに着目する。
「aが共通」ということは(ア)の展開のように「aがカッコの外にあって分配法則で各項にかけた」ということ。
カッコの外からaを分配法則して、ax + ayになるように□と△を決める。
□にx, △にyが入るので、ax+ay=a(x+y)となる。
例
7a-7b
各項に7が共通でマイナスなので7(□−△)
よって□にa,△にbがはいる。
7a−7b=7(a−b)
2x2-18x
2x2 → 2x×x, -18x → 2x×(-9)
のように 両方の項にそれぞれ2xがかけられている。(2xが共通)
【注】このとき2だけでも、xだけでもだめ
そこから、2x(△+□)とすると △にx, □に-9が当てはまる。
2x2-18x=2x(x-9)
このような因数分解を「共通因数をくくりだす」という。
【確認】 因数分解しなさい。
① 3a+3c ② ax+5a ③ 2y+14
【答】① 3(a+c) ② a(x+5) ③2(y+7)
多項式の乗法の逆
展開 (ウ)(x+a)(x+b)= x2+ax+bx+ab
因数分解 (エ)x2+ax+bx+ab=(x+a)(x+b)
(ウ)の展開は下のようにxとaをそれぞれ後ろのカッコの中に分配法則でかける。
(エ)の因数分解を考えるときはまず x2 + ax + bx +abのx2に着目する
x2があるということから展開する前の形が
(x + □)(x + △) ということがわかる。
次にabに着目。すると□と△の積がabになることがわかる。
そこで(x+□)(x+△)で□にa, △にbを入れると(x+a)(x+b)となる。
aとbの代わりに数字の入った因数分解。
展開 (オ) (x+3)(x+5)= x2+8x+15
因数分解 (カ) x2+8x+15= (x+3)(x+5)
(オ)の展開では3×5=15、3x+5x=8xとなる。
(カ)は展開の逆なので、積が15,和が8となる2数を探して因数分解とする。
2数を探すときにまず積から考える。正の数で積が15になるの組み合わせは1×15, 3×5。このうち和が8になるのは3と5。
例 x2+10x+24 を因数分解する
x2+10x+24 = (x+□)(x+△)
とすると□と△にはかけて24、たして10になる数が入る。 かけて24になるのは1×24, 2×12, 3×8, 4×6 このうちたして10になるのは4+6 よって x2+10x+24 = (x+4)(x+6) となる
【確認】 因数分解しなさい
① x2+5x+6 ② x2+8x+12
③ x2+4x+3
【答】① (x+3)(x+2) ② (x+2)(x+6) ③ (x+1)(x+3)
因数分解したときは必ず答を展開して確かめる習慣をつけましょう。
因数分解は展開の逆なので展開がしっかりできていないと因数分解はうまくできません。
公式に当てはめるだけでも因数分解はできますが、基本的な考えがしっかりできるまでは安易に公式に頼らないことが上達のコツです。