因数分解

因数分解とは

多項式を2つ以上の単項式や多項式の積の形で表すことを因数分解という。
そして因数分解は展開の逆をすればできる。
【例】
3ax+6ay = 3a(x+2y) x²+7xy+12y² = (x+3y)(x+4y) ①の因数分解は分配法則でかっこを開く逆の計算で、 ②の因数分解は多項式の展開の逆の計算をしている。
このように展開の逆の計算をすれば因数分解できるので、常に展開を頭に思い浮かべながら因数分解をする必要がある。
因数分解の上達のためには、展開をしっかり理解し、どのような展開でも容易に解けるようでなければならない。
式の展開 ≫

共通因数をくくりだす

ax + bx = x(a+b)
因数分解をする場合、まず各項すべてにかけられている数字や文字がないか確かめる。
この「共通にかけられている文字や数字」を共通因数という。
x(a+b) = ax+bx この展開をすると左辺のカッコの外のxが右辺では共通因数となるので、xを前に出してのこりをカッコでくくるような因数分解ができる。
これを「共通因数をくくりだす」という。
例
2ay+3a 各項にaが共通にかけられているのでaだけ前に出す
2ay+3a = a(2y+3)
7x-7y+7 7が共通因数となっているのでyを前に出す。
7x-7y+7 = 7(x-y+1) 2x²-18x 2x² → 2x×x,　　-18x → 2x×(-9)
と考えると2xが共通因数とわかる。
　【注】このとき2だけでも、xだけでもだめ
2xを前に出すと
2x²-18x=2x(x-9) 【確認】　因数分解しなさい。
3a+3c ax+5a 2y+14 【答】① 3(a+c)　② a(x+5) ③2(y+7)

多項式の乗法の逆

x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
(x+a)(x+b)の形に因数分解できる場合、xの項の係数はaとbの和、定数項はaとbの積になる。
x²+(a+b)aとbの和x+abaとbの積

(a+b)とabがともに正のときの因数分解

【例】　 x² +9x+20 を因数分解する場合、
x² +9x+20 = (x+□)(x+△) この□と△にあてはまる数字を探し当てなければならない。
まず積が20になる２数の組み合わせを考える。
　1×20
　2×10
　4×5
これらの組のうち和が9になるのは 4と5なので
x² +9x+20=(x+4)(x+5) 【確認】　因数分解しなさい
x²+5x+6 x²+8x+12 x²+4x+3 【答】① (x+3)(x+2) ② (x+2)(x+6) ③ (x+1)(x+3)

abが負のときの因数分解

【例】　 x²-2x-15　の因数分解
x²-2x-15 = (x + □)(x + △)とすると
　□と△の積が定数項-15。積が負の数になるのは □と△の一方が負で、他方が正の場合である。よって積が-15になる数の組は
　-1×15,
　-3×5,
　-5×3,
　-15×1
この４つである。このうち和が-2となるのは -5と3なので
x²-2x-15 = (x - 5)(x + 3)　となる。 【確認】 因数分解せよ。
x²-3x-28 x²+2x-48 x²-5x-24 答表示 【答】① (x-7)(x+4)　 ② (x-6)(x+8)　 ③(x-8)(x+3)

(a+b)が負でabが正のときの因数分解

【例】　 x²-8x+12　の因数分解
x²-8x+12 = (x + □)(x + △)
　定数項が正の数で、xの係数が負の数なので　□、△ともに,負の数となる。
　よって積が12になる数の組は
　-1×(-12),
　 -2×(-6),
　 -3×(-4)
の３通りである。このうち和が-8になるのは-2と-6なので
　x²-8x+12 = (x - 2)(x - 6)　となる。 【確認】 因数分解しなさい。
x²-3x+2 x²-10x+16 x²-12x+27 答表示 【答】① (x-2)(x-1)　 ② (x-2)(x-8)　 ③(x-3)(x-9)

２乗の因数分解

2乗の因数分解
(ア)　x²+2ax+a² = (x+a)²
(イ)　x²-2ax+a² = (x-a)²　　　　　
定数項がa²で、xの係数が2aなら２乗の因数分解になる。
【例1】 x²+18x+81の因数分解
定数項が81 = 9²、xの係数が18=2×9なので
x²+18x+81 = (x+9)²となる。
【例2】x²-14x+49の因数分解
定数項が49=7²、xの係数が-14=2×(-7)なので
x²-14x+49 = (x-7)²となる。
xの係数が負なら(x-□)²になる。

【例3】 9x²+30x+25 の因数分解
9x²を(3x)²、25を5²と考える。
9x²+30x+25
= (3x)²+2×5×(3x)+5²
= (3x+5)² 【確認】 因数分解しなさい。答表示
x²+12x+36
(x+6)² x²-16x+64
(x-8)² 16x²-24x+9
(4x-3)²

x²-a²

x² -a² = (x+a)(x-a)
xの項が無くなる展開は和と差の積 (x+a)(x-a) = x² -a²のときである。
つまり □²- △² = (□+△)(□-△)と因数分解できる。 【例】 　x²-49　の因数分解
49=7²なので
x²-49 = (x+7)(x-7)となる。 【確認】 因数分解せよ。 　
①x²-36　　　　②x²-1　　　　　 ③x²-a² 答表示 【答】① (x+6)(x-6)　 ② (x+1)(x-1)　　③(x+a)(x-a)

因数分解の公式

x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x² + 2ax + a² = (x+a)²
x² - 2ax + a² = (x-a)²
x² - a² = (x+a)(x-a)

整数の２乗

2乗の因数分解や和と差の積を使う因数分解をする場合、整数の2乗がわかっていたほうが素早く因数分解を行える。
1 = 1²、　 4 = 2² 、　 9 =3²
16 = 4² 、　 25 = 5² 、　 36 = 6²
49 = 7² 、　 81 = 9² 、　 100 = 10²
121 = 11² 、　 144 = 12² 、　 169 = 13²
196 = 14² 、　225 = 15²
少なくともこのあたりまでは、因数分解だけでなく、平方根や2次方程式、2乗に比例する関数でもよく使うので覚えたほうが良い。

因数分解チェックテスト

ax+4a = (x+4)○☓
a 6x²-15x = (2x-5)○☓
3x x²+11x+30 = (x+)(x+)○☓
5,6|6,5 x²+12x+27 = (x+)(x+)○☓
3,9|9,3 x²+x-72 = (x-)(x+)○☓
8,9 x²-2x-35 = (x-)(x+)○☓
7,5 x²-10x+16 = (x-)(x-)○☓
2,8|8,2 x²-11x+28 = (x-)(x-)○☓
4,7|7,4 x²+8x+16 = (x+)²○☓
4 x²-10x+25 = (x-)²○☓
5 x²-49 = (x+)(x-)○☓
7,7 x²-121 = (x+)(x-)○☓
11,11