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因数分解

因数分解とは

多項式を2つ以上の単項式や多項式の積の形で表すことを因数分解という。
そして因数分解は展開の逆をすればできる。
【例】
3ax+6ay = 3a(x+2y) x2+7xy+12y2 = (x+3y)(x+4y)
①の因数分解は分配法則でかっこを開く逆の計算で、 ②の因数分解は多項式の展開の逆の計算をしている。
このように展開の逆の計算をすれば因数分解できるので、常に展開を頭に思い浮かべながら因数分解をする必要がある。
因数分解の上達のためには、展開をしっかり理解し、どのような展開でも容易に解けるようでなければならない。
式の展開 ≫

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共通因数をくくりだす

ax + bx = x(a+b)
因数分解をする場合、まず各項すべてにかけられている数字や文字がないか確かめる。
この「共通にかけられている文字や数字」を共通因数という。
x(a+b) = ax+bx この展開をすると左辺のカッコの外のxが右辺では共通因数となるので、xを前に出してのこりをカッコでくくるような因数分解ができる。
これを「共通因数をくくりだす」という。

2ay+3a 各項にaが共通にかけられているのでaだけ前に出す
2ay+3a = a(2y+3)

7x-7y+7 7が共通因数となっているのでyを前に出す。
7x-7y+7 = 7(x-y+1)
2x2-18x 2x2 → 2x×x,  -18x → 2x×(-9)
と考えると2xが共通因数とわかる。
 【注】このとき2だけでも、xだけでもだめ
2xを前に出すと
2x2-18x=2x(x-9)
【確認】 因数分解しなさい。
3a+3c ax+5a 2y+14

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多項式の乗法の逆

x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
(x+a)(x+b)の形に因数分解できる場合、xの項の係数はaとbの和、定数項はaとbの積になる。
x2+(a+b)aとbの和x+abaとbの積

(a+b)とabがともに正のときの因数分解

【例】  x2 +9x+20 を因数分解する場合、
x2 +9x+20 = (x+□)(x+△) この□と△にあてはまる数字を探し当てなければならない。
まず積が20になる2数の組み合わせを考える。
 1×20
 2×10
 4×5
これらの組のうち和が9になるのは 4と5なので
x2 +9x+20=(x+4)(x+5)
【確認】 因数分解しなさい
x2+5x+6 x2+8x+12 x2+4x+3


abが負のときの因数分解

【例】  x2-2x-15 の因数分解
x2-2x-15 = (x + □)(x + △)とすると
 □と△の積が定数項-15。積が負の数になるのは □と△の一方が負で、他方が正の場合である。よって積が-15になる数の組は
 -1×15,
 -3×5,
 -5×3,
 -15×1
この4つである。このうち和が-2となるのは -5と3なので
x2-2x-15 = (x - 5)(x + 3) となる。
【確認】 因数分解せよ。
x2-3x-28 x2+2x-48 x2-5x-24


(a+b)が負でabが正のときの因数分解

【例】  x2-8x+12 の因数分解
x2-8x+12 = (x + □)(x + △)
 定数項が正の数で、xの係数が負の数なので □、△ともに,負の数となる。
 よって積が12になる数の組は
 -1×(-12),
  -2×(-6),
  -3×(-4)
の3通りである。このうち和が-8になるのは-2と-6なので
 x2-8x+12 = (x - 2)(x - 6) となる。
【確認】 因数分解しなさい。
x2-3x+2 x2-10x+16 x2-12x+27

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2乗の因数分解

2乗の因数分解
(ア) x2+2ax+a2 = (x+a)2
(イ) x2-2ax+a2 = (x-a)2     

定数項がa2で、xの係数が2aなら2乗の因数分解になる。
【例1】 x2+18x+81の因数分解
定数項が81 = 92、xの係数が18=2×9なので
x2+18x+81 = (x+9)2となる。

【例2】x2-14x+49の因数分解
定数項が49=72、xの係数が-14=2×(-7)なので
x2-14x+49 = (x-7)2となる。

xの係数が負なら(x-□)2になる。

【例3】 9x2+30x+25 の因数分解
9x2を(3x)2、25を52と考える。
9x2+30x+25
= (3x)2+2×5×(3x)+52
= (3x+5)2
【確認】 因数分解しなさい。
x2+12x+36
(x+6)2
x2-16x+64
(x-8)2
16x2-24x+9
(4x-3)2


和と差の積を使う因数分解

x2 -a2 = (x+a)(x-a)
xの項が無くなる展開は和と差の積 (x+a)(x-a) = x2 -a2のときである。
つまり □2- △2 = (□+△)(□-△)と因数分解できる。 【例】  x2-49 の因数分解
49=72なので
x2-49 = (x+7)(x-7)となる。
【確認】 因数分解せよ。  
①x2-36    ②x2-1      ③x2-a2


因数分解の公式

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x2 + 2ax + a2 = (x+a)2
x2 - 2ax + a2 = (x-a)2
x2 - a2 = (x+a)(x-a)


整数の2乗

2乗の因数分解や和と差の積を使う因数分解をする場合、整数の2乗がわかっていたほうが素早く因数分解を行える。
1 = 12、  4 = 22 、  9 =32
16 = 42 、  25 = 52 、  36 = 62
49 = 72 、  81 = 92 、  100 = 102
121 = 112 、  144 = 122 、  169 = 132
196 = 142 、 225 = 152

少なくともこのあたりまでは、因数分解だけでなく、平方根や2次方程式、2乗に比例する関数でもよく使うので覚えたほうが良い。

因数分解チェックテスト

ax+4a = (x+4)
a
6x2-15x = (2x-5)
3x
x2+11x+30 = (x+)(x+)
5,6|6,5
x2+12x+27 = (x+)(x+)
3,9|9,3
x2+x-72 = (x-)(x+)
8,9
x2-2x-35 = (x-)(x+)
7,5
x2-10x+16 = (x-)(x-)
2,8|8,2
x2-11x+28 = (x-)(x-)
4,7|7,4
x2+8x+16 = (x+)2
4
x2-10x+25 = (x-)2
5
x2-49 = (x+)(x-)
7,7
x2-121 = (x+)(x-)
11,11

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