因数分解
因数分解とは
多項式を2つ以上の単項式や多項式の積の形で表すことを因数分解という。
そして因数分解は展開の逆をすればできる。
【例】
3ax+6ay = 3a(x+2y)
x2+7xy+12y2 = (x+3y)(x+4y)
①の因数分解は分配法則でかっこを開く逆の計算で、
②の因数分解は多項式の展開の逆の計算をしている。
このように展開の逆の計算をすれば因数分解できるので、常に展開を頭に思い浮かべながら因数分解をする必要がある。
因数分解の上達のためには、展開をしっかり理解し、どのような展開でも容易に解けるようでなければならない。
式の展開 ≫
多項式の乗法の逆
x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
(x+a)(x+b)の形に因数分解できる場合、xの項の係数はaとbの和、定数項はaとbの積になる。
x2+(a+b)x+ab
(a+b)とabがともに正のときの因数分解
【例】 x2 +9x+20 を因数分解する場合、
x2 +9x+20 = (x+□)(x+△) この□と△にあてはまる数字を探し当てなければならない。
まず積が20になる2数の組み合わせを考える。
1×20
2×10
4×5
これらの組のうち和が9になるのは 4と5なので
x2 +9x+20=(x+4)(x+5)
【確認】 因数分解しなさい
x2+5x+6 x2+8x+12
x2+4x+3
【答】① (x+3)(x+2) ② (x+2)(x+6) ③ (x+1)(x+3)
abが負のときの因数分解
【例】
x2-2x-15 の因数分解
x2-2x-15 = (x + □)(x + △)とすると
□と△の積が定数項-15。積が負の数になるのは □と△の一方が負で、他方が正の場合である。よって積が-15になる数の組は
-1×15,
-3×5,
-5×3,
-15×1
この4つである。このうち和が-2となるのは -5と3なので
x2-2x-15 = (x - 5)(x + 3) となる。
【確認】 因数分解せよ。
x2-3x-28
x2+2x-48
x2-5x-24
【答】① (x-7)(x+4) ② (x-6)(x+8) ③(x-8)(x+3)
(a+b)が負でabが正のときの因数分解
【例】
x2-8x+12 の因数分解
x2-8x+12 = (x + □)(x + △)
定数項が正の数で、xの係数が負の数なので □、△ともに,負の数となる。
よって積が12になる数の組は
-1×(-12),
-2×(-6),
-3×(-4)
の3通りである。このうち和が-8になるのは-2と-6なので
x2-8x+12 = (x - 2)(x - 6) となる。
【確認】 因数分解しなさい。
x2-3x+2 x2-10x+16 x2-12x+27
【答】① (x-2)(x-1) ② (x-2)(x-8) ③(x-3)(x-9)
動画 例題解説「因数分解 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)」 2乗の因数分解
2乗の因数分解
(ア) x2+2ax+a2 = (x+a)2
(イ) x2-2ax+a2 = (x-a)2
定数項がa2で、xの係数が2aなら2乗の因数分解になる。
【例1】 x2+18x+81の因数分解
定数項が81 = 92、xの係数が18=2×9なので
x2+18x+81 = (x+9)2となる。
【例2】x2-14x+49の因数分解
定数項が49=72、xの係数が-14=2×(-7)なので
x2-14x+49 = (x-7)2となる。
xの係数が負なら(x-□)2になる。
【例3】 9x2+30x+25 の因数分解
9x2を(3x)2、25を52と考える。
9x2+30x+25
= (3x)2+2×5×(3x)+52
= (3x+5)2
【確認】 因数分解しなさい。
x2+12x+36
(x+6)2
x2-16x+64
(x-8)2
16x2-24x+9
(4x-3)2
動画 例題解説「2乗の因数分解」
x2-a2
x2 -a2 = (x+a)(x-a)
xの項が無くなる展開は和と差の積 (x+a)(x-a) = x2 -a2のときである。
つまり □2- △2 = (□+△)(□-△)と因数分解できる。
【例】 x2-49 の因数分解
49=72なので
x2-49 = (x+7)(x-7)となる。
【確認】 因数分解せよ。
①x2-36 ②x2-1 ③x2-a2
【答】① (x+6)(x-6) ② (x+1)(x-1) ③(x+a)(x-a)
動画 例題解説「2乗の差の因数分解」
因数分解の公式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x2 + 2ax + a2 = (x+a)2
x2 - 2ax + a2 = (x-a)2
x2 - a2 = (x+a)(x-a)
整数の2乗
2乗の因数分解や和と差の積を使う因数分解をする場合、整数の2乗がわかっていたほうが素早く因数分解を行える。
1 = 12、 4 = 22 、 9 =32
16 = 42 、
25 = 52 、
36 = 62
49 = 72 、
81 = 92 、
100 = 102
121 = 112 、
144 = 122 、
169 = 132
196 = 142 、 225 = 152
少なくともこのあたりまでは、因数分解だけでなく、平方根や2次方程式、2乗に比例する関数でもよく使うので覚えたほうが良い。
因数分解チェックテスト
ax+4a = (x+4)
a
6x2-15x = (2x-5)
3x
x2+11x+30 = (x+)(x+)
5,6|6,5
x2+12x+27 = (x+)(x+)
3,9|9,3
x2+x-72 = (x-)(x+)
8,9
x2-2x-35 = (x-)(x+)
7,5
x2-10x+16 = (x-)(x-)
2,8|8,2
x2-11x+28 = (x-)(x-)
4,7|7,4
x2+8x+16 = (x+)2
4
x2-10x+25 = (x-)2
5
x2-49 = (x+)(x-)
7,7
x2-121 = (x+)(x-)
11,11
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