式の計算の利用_標準問題2

計算せよ。
1531×1511-1521² 132×168-32×68 551²+248²-252²-449² 次の問いに答えよ。
x=2, y=3のとき、2x³y²-2x²y-40x の値を求めよ。
x=6, y=13のとき、2(2x+y)(9x-4y)-(6x-y)² の値を求めよ。
x+y=3, xy=-1のとき、(x-y)² の値を求めよ。
x+y=-5, xy=8のとき、1x+1yの値を求めよ。 2けたの整数Aがある。この整数Aの十の位と一の位を入れ替えた数をBとする。A²-B²が99の倍数になることを証明せよ。 図で, ABを直径とする半円の弧をx, ACを直径とする半円の弧をy, BCを直径とする半円の弧をzとする。 x=y+zとなることを証明せよ。

-100 20000 100000 40 27 13 -58
Aの十の位の数をx, 一の位の数をyとすると
A=10x+y, B=10y+xとなる。
A²-B² = (A+B)(A-B)
= (10x+y+10y+x)(10x+y-10y-x)
= (11x+11y)(9x-9y)
= 11(x+y)×9(x-y)
= 99(x+y)(x-y)
x, yは整数なので、(x+y)(x-y)も整数となり、99(x+y)(x-y)は99の倍数である。
よって, A²-B²は99の倍数となる。
AC=a, CB=b とすると
AB= a+b　なので
x = 12(a+b)π…①
y= 12aπ, z=12bπ なので
y+z = 12aπ+12bπ = 12(a+b)π…②
①, ②より x=y+z