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式の展開

分配法則

展開とは「カッコを開く」こと。
カッコを開くときには分配法則を使う。
(例)  2(a+3)のカッコをはずす場合
(a + 3) 2
このように2をaと+3の両方に掛け算する。
2(a + 3) = 2a + 6
これがもっとも基本の展開である。

【確認】  次の式を展開せよ。
 (ア) 8(y-5) (イ) -3(x+2) (ウ) -2(a-6)
【答】(ア) 8y-40 (イ) -3x-6 (ウ) -2a+12 

1次式どうしの乗法 次に(a+2)(b+1)のように1次式どうしの掛け算を展開する。
この場合も分配法則を使う。 
(例) (a+2)(b+1)を展開する場合
  (a + 2) (b + 1)
このようにaをbと+1の両方に、+2をbと+1の両方にそれぞれ掛ける。
(a+2)(b+1) = ab+a+2b+2
展開の基本は分配法則である。
先に公式を暗記するより、まずは分配法則をつかって確実に展開できるようになってから公式を覚えたほうが上達も早く、応用にもつよくなる。
(例) (x+3)(x+5) の展開
(x+3)(x+5) = x2 +5x +3x +15
= x2 +8x +15
5xと3xは同類項なのでまとめておく。
【確認】 展開せよ。

(ア) (a+4)(b-1) (イ) (x+2)(x+4) (ウ) (x+3)(x-2)
【答】(ア)ab-a+4b-4  (イ)x2+6x+8  (ウ)x2+x-6

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2乗、和と差の積

2乗の展開 (例) (x+5)2を展開する場合
(x+5)2 = (x+5)(x+5) として、分配法則を使って展開する。
(x+5)2 = x2 + 5x +5x +25
= x2 + 10x +25

【確認】 展開せよ。
(ア) (x+3)2
x2+6x+9
(イ) (x-4)2
x2-8x+16
(ウ) (x+y)2
x2+2xy+y2

和と差の積   和と差の積はよく出てくる形で応用もたくさんあるので重要。 (例) (x+3)(x-3) の展開
(x+3)(x-3) = x2-3x+3x-9
=x2 -9
  +3xと-3xの同類項をまとめると0になる! 
【確認】 展開せよ。
(ア) (x+1)(x-1)
x2-1
(イ) (a+7)(a-7)
a2-49
(ウ) (x+y)(x-y)
x2-y2

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3数の展開

2数と同様に、一方のカッコ内の各項を他方にかけて、分配法則でカッコをひらく。
例1 (a+b)(x+y+z) aを(x+y+z)にかけ、bも(x+y+z)にかける。
  a b + ( ) ( ) x y z + + = ax + ay + az + bx + by + bz

例2 (a+2)(a+b+1) aを(a+b+1)に、2も(a+b+1)にかける。
同類項をまとめる。
(a+2)(a+b+1)
= a2+ab+a+2a+2b+2
= a2 + ab + 3a + 2b +2

【確認】展開せよ。
(a+1)(x+y+z) ax+ay+az+x+y+z (x+y)(x+y+1) x2+2xy+y2+x+y (x+3)(x+y+2) x2+xy+5x+3y+6

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