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方程式の解き方(等式の性質)

方程式

方程式とは = (イコール、等号)を用いて数量の関係を表した式が等式である。
式の中にある値を代入すると成り立つ等式を方程式という。
また、方程式を成り立たせる値をといい、方程式の解をもとめることを「方程式を解く」という。 【例】 方程式 3x - 1 = x + 5について
x = 1を代入すると
左辺 = 3 - 1 =2、 右辺 = 1 +5 =6

x = 2を代入すると
左辺 = 6 -1 =5、 右辺 = 2 +5 =7

x = 3 を代入すると
左辺 = 9 -1 = 8、 右辺 = 3 +5 = 8
x=3のとき 左辺=右辺 が成り立つので
この方程式の解は 3である。

【確認1】0, 1, 2, 3から次の方程式の解となるものを答えよ。
5x + 2 = 2x + 8  2

【確認2】次の方程式のうち解が-1となるものをすべて選んで記号で答えよ。
4x + 5 = 3x + 6 5x -1 = x + 7 6x + 5 = 2x + 1 3x - 4 = 4x -3
③, ④

等式の性質 = (イコール、等号)を用いて数量の関係を表した式を等式という。
「aとbの和はcとなる。」これを等式にすると a+b=c である。
このとき = の左側を左辺、右側を右辺、両方合わせて両辺と呼ぶ。

a+b=c 左辺 右辺 両辺 a+b=cの場合、左辺はa+b, 右辺はcとなる。 等式の性質
・両辺に同じ数字を足しても等式は成り立つ
A = B なら A +C = B +C
・両辺から同じ数字を引いても等式は成り立つ。
A = B なら  A –C = B –C
・両辺に同じ数字をかけても等式は成り立つ。
A = B なら  AC = BC
・両辺を同じ数字で割っても等式は成り立つ。
A = B なら  A C = B C

1年生で、まだ文字に慣れていない場合や、間違えやすい場合は数字で考えると良い。

等式なので左辺と右辺は同じ数字。5 = 5
この等式の左辺だけに2を加えると左辺が7で右辺が5となり成り立たない。 5+2=5 左辺だけでなく右辺にも2を加えると今度は両辺とも7で等式は成り立つ。5+2 = 5+2
これと同じように引き算や掛け算、割り算でも両辺に同じことをすれば等式が成り立つ。
これが等式の性質。当たり前のことだけれど、方程式を解くためにとても大切である。

等式の性質を利用して方程式を解く

方程式の解き方1 「方程式を解く」とは x の値を出すこと。 つまりx=5のように「x = 数字」の形にすること。 例 方程式 x−8=5 の解き方。
「x=数字 」にするため左辺の−8は必要ない。
この−8をなくすために両辺に+8を加える
そして両辺をそれぞれ計算する
x – 8  =  5
x – 8 +8 = 5 + 8
  x   = 13

【例2】 方程式 x + 4 = 9を解く
x+4=9 x+4-4=9-4 x=5 左辺の+4をなくす ために両辺に -4 両辺を計算
このように等式の性質を利用して方程式をとくことができる。 【確認】 次の方程式を解きなさい。
x+12=5x=−7 x−9=12x=21 5+x=16x=11

計算練習 ≫
方程式の解き方2 「両辺に同じ数字をかけても等式は成り立つ」
この性質を利用してxに係数がある方程式を解く。 xに係数があったら、係数の逆数をかけて1にする。
【例】 方程式 –3x = 12 の解き方
xの係数は -3 なので、両辺に-3の逆数をかけて、両辺それぞれ計算する。
−3x=12 (− 1 3 ) ×(−3x) = 12× (− 1 3 ) x=−4
【確認】 次の方程式を解きなさい
6x=24x=4 −2x=−8x=4 −5x=−20x=4

計算練習 ≫ 方程式の解き方3 上記の1, 2のやり方を順に使って複雑な方程式もすべて解くことができる。 【例】  方程式 4x + 15 = –9 の解き方。
まず、左辺の+ 15をなくすため両辺に –15 する
両辺をそれぞれ計算する。
xの係数4の逆数を両辺にかける
両辺をそれぞれ約分して計算する。
4x+15−15=−9−15 4x=−24 1 4 ×4x = −24× 1 4 x=−6
【確認】 次の方程式を解きなさい。
2x −4 = 18x = 11 3x +17 = 2x = −5 8 −5x = −2x = 2

計算練習 ≫

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