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方程式の解き方

方程式

方程式とは = (イコール、等号)を用いて数量の関係を表した式が等式である。
式の中にある値を代入すると成り立つ等式を方程式という。
また、方程式を成り立たせる値をといい、方程式の解をもとめることを「方程式を解く」という。 【例】 方程式 3x - 1 = x + 5について
x = 1を代入すると
左辺 = 3 - 1 =2、 右辺 = 1 +5 =6

x = 2を代入すると
左辺 = 6 -1 =5、 右辺 = 2 +5 =7

x = 3 を代入すると
左辺 = 9 -1 = 8、 右辺 = 3 +5 = 8
x=3のとき 左辺=右辺 が成り立つので
この方程式の解は 3である。

【確認1】0, 1, 2, 3から次の方程式の解となるものを答えよ。
5x + 2 = 2x + 8  2

【確認2】次の方程式のうち解が-1となるものをすべて選んで記号で答えよ。
4x + 5 = 3x + 6 5x -1 = x + 7 6x + 5 = 2x + 1 3x - 4 = 4x -3
③, ④

等式の性質 = (イコール、等号)を用いて数量の関係を表した式を等式という。
「aとbの和はcとなる。」これを等式にすると a+b=c である。
このとき = の左側を左辺、右側を右辺、両方合わせて両辺と呼ぶ。

a+b=c左辺右辺両辺 a+b=cの場合、左辺はa+b, 右辺はcとなる。 等式の性質
・両辺に同じ数字を足しても等式は成り立つ
A = B なら A +C = B +C
・両辺から同じ数字を引いても等式は成り立つ。
A = B なら  A –C = B –C
・両辺に同じ数字をかけても等式は成り立つ。
A = B なら  AC = BC
・両辺を同じ数字で割っても等式は成り立つ。
A = B なら  A C = B C

1年生で、まだ文字に慣れていない場合や、間違えやすい場合は数字で考えると良い。

等式なので左辺と右辺は同じ数字。5 = 5
この等式の左辺だけに2を加えると左辺が7で右辺が5となり成り立たない。5+2=5 左辺だけでなく右辺にも2を加えると今度は両辺とも7で等式は成り立つ。5+2 = 5+2
これと同じように引き算や掛け算、割り算でも両辺に同じことをすれば等式が成り立つ。
これが等式の性質。当たり前のことだけれど、方程式を解くためにとても大切である。

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等式の性質を利用して方程式を解く

方程式の解き方1 「方程式を解く」とは x の値を出すこと。 つまりx=5のように「x = 数字」の形にすること。 例 方程式 x−8=5 の解き方。
「x=数字 」にするため左辺の−8は必要ない。
この−8をなくすために両辺に+8を加える
そして両辺をそれぞれ計算する
x – 8  =  5
x – 8 +8 = 5 + 8
  x   = 13

【例2】 方程式 x + 4 = 9を解く
x+4=9x+4-4=9-4x=5左辺の+4をなくすために両辺に -4両辺を計算
このように等式の性質を利用して方程式をとくことができる。 【確認】 次の方程式を解きなさい。
x+12=5x=−7 x−9=12x=21 5+x=16x=11

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方程式の解き方2 「両辺に同じ数字をかけても等式は成り立つ」
この性質を利用してxに係数がある方程式を解く。 xに係数があったら、係数の逆数をかけて1にする。
【例】 方程式 –3x = 12 の解き方
xの係数は -3 なので、両辺に-3の逆数をかけて、両辺それぞれ計算する。
−3x=12 (− 1 3 ) ×(−3x) = 12× (− 1 3 ) x=−4
【確認】 次の方程式を解きなさい
6x=24x=4 −2x=−8x=4 −5x=−20x=4

計算練習 ≫ 方程式の解き方3 上記の1, 2のやり方を順に使って複雑な方程式もすべて解くことができる。 【例】  方程式 4x + 15 = –9 の解き方。
まず、左辺の+ 15をなくすため両辺に –15 する
両辺をそれぞれ計算する。
xの係数4の逆数を両辺にかける
両辺をそれぞれ約分して計算する。
4x+15−15=−9−15 4x=−24 1 4 ×4x = −24× 1 4 x=−6
【確認】 次の方程式を解きなさい。
2x −4 = 18x = 11 3x +17 = 2x = −5 8 −5x = −2x = 2

計算練習 ≫

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移項

移項とは
一方の辺の項を符号を変えて他方に移動することである。
詳しく 等式の性質を用いて方程式を解く(復習) 6x =8+5x 6x-5x=8+5x-5x右辺の+5xをなくすため
両辺に-5xする
x=8

このときに右辺の計算を省略した途中式を書くと
6x =8+5x6x-5x=8 x=8
右辺の+5xが左辺に移動して–5xになったように見える。
このように一方の辺の項を符号を変えて他方に移動することを移項と呼ぶ。
【移項の例】
方程式 3x +2 = 14を解く
3x+2=143x=14-23x = 12x = 4移項
方程式 2x = -5x +14を解く
2x=-5x+142x+5x=147x=14x=2移項

移項を用いた方程式の解き方 手順 ① 数字の項を右辺に,xを含む項を左辺に移項する。
② ax = bの形にする。
③ 両辺をxの係数aで割る。

【例】
5x+8=3x+185x-3x=18-8 2x=10 x=5 数字の項を右辺に、
xを含む項を左辺に移項する
ax = bの形にする。
両辺をxの係数aで割る。

【確認】 次の方程式を解きなさい。
3x +8 = -4x = -4 5x = 7x +16x = -8 5x +11 = 2x +5x=−2 8x −8 = −x +10x = 2
計算練習 ≫

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