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連立方程式文章題(割合)

割合

割合とは、全体に対する比率のこと。分数やパーセント(％)、割であらわす。
計算する場合には％や割も分数にする。(小数でも表せるが、計算間違いしやすいため)
　1％　→　 1 100 、　　 1割　→　 1 10

例　
3％ → 3 100 、 x％ → x 100 、 3割 → 3 10 、 y割 → y 10

割合には、割合のもとになる数(全体)が必ずある。
「12の 1 3 は4である」といった場合、12が割合のもとになる数である。
「12の 1 3 は4である」を式にすると12× 1 3 =4となる。このように割合はもとの数に掛け算する。

例
300の5%　→　300× 5 100 = 15 400の3割　→　400× 3 10 = 120 xの7%　→　x× 7 100 = 7 100 x aの9割　→　a× 9 10 = 9 10 a 500のy%　→　500× y 100 =5y 700のc割　→　700× c 10 =70c

問題
次の数を計算で求めよ。
150の4% 240の1割 pの7割 600のk%

【答】 ①150× 4 100 =6 　 ②240× 1 10 = 24 　 ③p× 7 10 = 7 10 p 　 ④600× k 100 = 6k

例題1

男女合わせて31人のクラスがある。このクラスで自転車通学の生徒は男子の4割と女子の5割のあわせて14人である。このクラスの男子と女子の人数をそれぞれ求めよ。
このクラスの男子をx人、女子をy人とする。
自転車男子は男子全体の4割なので x×4 10 = 2 5 x
自転車女子は女子全体の5割なので y×5 10 = y 2
数量の関係は男子＋女子=全体、これをクラスの男女、自転車の男女にあてはめると
{ x+y = 31 2 5 x + y 2 = 14
となる。これを解いてx=15,y=16
答男子15人、女子16人

割合の増減

「600円の1割」は600× 1 10 =60で60円である。
「600円の1割引」といったら600-60=540で540円となる。
つまり「600円の1割引」は「600円から、600円の1割を引く」計算である。

yの7%引き　→　「yからyの7%を引く」 y - 7 100 y = 93 100 y 　4000のa%引き → 「4000から4000のa%を引く」 4000 - 4000 × a 100 = 4000 - 40a

増加する場合は「引く」ところを「たす」にすればよい。
xの9%増 → 「xにxの9%をたす」 x + 9 100 x = 109 100 x 3000のb%増 → 「3000に3000のb%をたす」 3000 + 3000 × b 100 = 3000 + 30b

問題
次の数を求めよ。
500の17%減 xの19%引 200のa%増

【答】①415　② 81 100 x ③200+2a

例題2

昨年の生徒数が380人で、今年は去年に比べて男子が3%減少し、女子が5%増加したので全体としては3人増加し383人になった。今年の男子と女子の人数を求めよ。
求めるものは今年でも割合のもとになる数が昨年なので昨年の男子をx人、昨年の女子をy人とする。
今年の男子は昨年の3%減なので x- 3 100 x = 97 100 x
今年の女子は昨年の5%増なので y + 5 100 y = 105 100 y
　男子女子全体昨年xy380 今年 97 100 x 105 100 y 383
数量の関係は男子＋女子=全体なので、これを昨年と今年に当てはめて
{ x+y = 380 97 100 x+ 105 100 y = 383
これを解くと x=200, y=180 これは昨年の男女なので、今年を計算すると
男子200× 97 100 = 194　女子180× 105 100 = 189
答男子194人、女子189人