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連立方程式の解き方(加減法,代入法)

連立方程式

2元1次方程式とは

2x+y=8 のように 2つの文字を含む1次方程式が2元1次方程式で、 2元1次方程式を成り立たせる文字の値の組をという。 2元1次方程式の解は無数にある。

【例】 2x+y=8 の解は x=1,y=6 やx=2,y=4など


連立方程式とは

{ 7x+2y=-5 2x+5y=8
のように2つ以上の方程式を組み合わせたものが連立方程式である。
組み合わせた,どの方程式も成り立たせるような文字の値の組が連立方程式の解となる。

中学で扱うのは上記のような2元1次方程式の連立方程式である。
2元1次方程式は1つでは解が無数にあったが,連立方程式になると(特殊な場合を除いて)解は1組である。
この連立方程式の解を求めることを「連立方程式を解く」という。

連立方程式を解く

連立方程式を解くには,xかyのどちらかの文字を1つ消去して,文字が1つだけの方程式にして解く。
この解き方に加減法代入法がある。

加減法

x,またはyの係数をそろえて2つの式を「たす」または「ひく」して文字を一つ消す。
加減法のときは式を2つとも ax + by = 定数 の形に整理する。

係数の絶対値が等しい場合

係数の絶対値が等しく符号も同じなら引き算し、絶対値が等しくて符号が違うだけならそのまま足し算する。
計算
{4x+2y=2…①4x+5y=-7…② ①と②はxの係数が4で全く同じなので,
①から②を引く
xの項がなくなり,yだけの方程式にできる。

4x+2y=2-)4x+5y=-7 -3y=9 y=-3
y=-3を①に代入すると
4x+2×(-3)=2
4x-6=2
4x=8
x=2

例題動画 加減法1「係数の絶対値が同じ場合」
【確認】加減法で解きなさい。
(1) { 4x+y=10 3x+y=6 x = 4, y = −6 (2) { 3x+5y=14 -3x+2y=-7 x = 3, y = 1

係数がそろってない場合

x,yどちらかの係数をそろえて,2式を「たす」または「ひく」して文字を1つ消す。
係数をそろえるには,片方の式または両方の式の両辺に数をかける
計算
{2x+4y=6…①x+3y=4…② ②に2をかけて,両方の式のxの係数を
2にそろえて引き算する。

②×2
2x +6y =8…②'
①-②'
2x+4y=6-)2x+6y=8 -2y=-2 y=1
y = 1を①に代入して
2x+4 = 6
2x = 2
x=1

例題動画 加減法2 「係数がそろってない場合」 【確認】加減法で解きなさい。
(1) { 5x+2y=8 x+3y=-14 x = 4, y = −6 (2) { 3x-7y=2 2x+3y=9 x = 3, y = 1

代入法

片方の式が x = の形になっていれば、それを他方のxに代入することでxが消えてyだけの方程式ができる。 (y= の形ならyに代入する。)
またx= やy= の形になっていなくても、式の変形によってx(またはy)について解いて代入しても良い。

【例1】{x=-y+3…①2x+5y=9…②
① が x = となっているので、これを②に代入する。
2(-y+3)+5y=9-2y+6+5y=93y=9-63y=3y=1
y=1を①に代入する。
x=-1+3
x=2

【例2】 {3x=-4y-6…①3x+5y=-9…②
①が3x= となっており、②に3xがあるのでそのまま代入する。
-4y-6+5y=-9y=-9+6y=-3

y=-3を①に代入する。
3x = -4×(-3)-6
3x = 6
x=2

例題動画 「連立方程式の解き方 代入法」≫ 【確認】代入法で解きなさい。
(1) { x = -2y+3 2x+5y = 5 x = 5, y = −1 (2) { 3x+y = 1 5x+2y = 1 x = 1, y = −2 (3) { 7x=-3y-57x+5y=1 x=-2, y=3

チェックテスト

次の連立方程式を解け
3x+2y=4 x=2y-12 x= , y=
-2*5
5x-3y=4 y=7x+4 x= , y=
-1*-3
3x+4y=2 3x=-5y+1 x= , y=
2*-1
2x+5y=13 3x-5y=7 x= , y=
4*1
7x-8y=-17 7x+3y=16 x= , y=
1*3
3x+y=8 5x+2y=11 x= , y=
5*-7
2x+7y=-1 5x-11y=26 x= , y=
3*-1

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